математика
.pdf3.Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат
Исходя из геометрического смысла определенного интеграла площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси абсцисс ( f ( x ) ≥ 0 ), равна соответствующему оп-
ределенному интегралу:
b
S = ∫ f ( x )dx .
a
В общем случае, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f1( x ) и y = f2 ( x ) , прямыми x = a и x = b , при
|
b |
условии, что |
f2 ( x ) ≥ f1( x ) , равна S = ∫(f2 ( x ) − f1( x ))dx . |
|
a |
Пример |
|
Найти |
площадь фигуры, ограниченной линиями |
y = −x2 , y = x − 2 . |
|
Решение
Изобразим кривые на чертеже. Решив систему
|
y = −x2 |
|
|
|
|||||
|
y = x − 2 , |
получаем координаты двух точек пересе- |
|||||||
чения (1; -1) и (-2; -4). Искомая площадь S криволинейно- |
|||||||||
го треугольника |
можно представить как разность площадей |
||||||||
(рис.3). |
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
1 |
||||
S = ∫( −x2 −( x − 2 ))dx = = ∫(−x2 − x + 2)dx = |
|||||||||
|
−2 |
|
|
|
|
|
−2 |
||
= (− |
x3 |
|
− |
x2 |
+ 2x) |
|
1−2 = 9 = 4,5 . |
||
|
|
||||||||
|
|
||||||||
3 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
31 |
|||
Рис. 3
4.Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе координат
Фигура, ограниченная графиком функции (рис.4) r = r(ϕ ) и двумя лучами ϕ = α и ϕ = β , называется криво-
линейным сектором. Его площадь вычисляется по формуле
S = 1 ∫β r2 (ϕ )dϕ . 2 α
32
r(ϕ)
ϕ=β
ϕ=α
0 |
ρ |
Рис.4
Если плоская фигура имеет более сложную форму, то необходимо разбить ее лучами, выходящими из полюса на криволинейные сектора, к которым применять либо полученную формулу, либо формулу для сектора, ограниченного
двумя непрерывными линиями r = r1 ( ϕ) и r = r2 ( ϕ)
(рис. 5).
ϕ=β r1(ϕ)
r2(ϕ) ϕ=α
0 |
ρ |
Рис.5
33
S = 1 ∫β ( r12 (ϕ ) − r2 2 (ϕ ))dϕ . 2 α
Пример
Найти площадь кривой, ограниченной кривой r = 2 cos 3ϕ (рис. 6).
π
6
|
|
ρ |
0 |
|
|
|
|
|
Рис.6
Решение
Так как площади всех лепестков «трехлепестковой розы» равны, а каждый лепесток симметричен относительно своей оси, то найдем площадь половины одного лепестка и умножим ее на 6, получим площадь искомой фигуры:
|
|
|
π |
π |
|
S1 |
= |
1 |
∫6 |
( 2 cos 3ϕ )2 dϕ = 2∫6 |
1 + cos 6ϕ dϕ = |
|
|
2 |
0 |
0 |
2 |
34
ππ
= (ϕ |
6 |
+ |
sin 6ϕ 6 |
) = ( |
π |
+ 0) |
= |
π |
. |
||
0 |
6 |
0 |
6 |
6 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда площадь всей фигуры равна
S= 6S1 = 6 π6 = π .
5.Вычисление длины дуги плоской кривой
Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой y = f ( x ) , где a ≤ x ≤ b .
Если функция |
f ( x ) и ее производная непрерывны на |
|||||
отрезке [a;b], то кривая АВ имеет длину, равную |
||||||
b |
|
|
|
|
|
|
l = ∫ |
|
′ |
|
2 |
dx . |
|
1 +( f ( x )) |
|
|
||||
a |
|
|
|
|
|
|
Если линия задана уравнением x = ϕ( y ), |
c ≤ y ≤ d , то |
|||||
ее длина вычисляется по формуле |
|
|||||
d |
|
|
|
|
|
|
l = ∫ |
|
′ |
|
2 |
dy . |
|
1 +( ϕ( y )) |
|
|
||||
c |
|
|
|
|
|
|
Если уравнение кривой АВ задано в параметрической |
||||||
x = x( t ) |
, α ≤ t ≤ β , причем x( t ), y( t ) |
– непрерыв- |
||||
форме |
= y( t ) |
|||||
y |
|
|
|
|
|
|
ные функции с непрерывными производными и a = x(α ) , b = x( β) , то длина кривой АВ находится по формуле
β |
|
|
|
|
|
l = ∫ |
′ |
2 |
′ |
2 |
dt . |
( x ( t )) |
|
+( y ( t )) |
|
α
35
Примеры
1) Найти длину дуги кривой y = ln( 2x ) на промежутке
3 ≤ x ≤ 
8 .
Решение
y′ = |
|
2 |
|
= |
1 |
|
+ |
( y′) |
2 |
=1 + |
1 |
= |
1 |
+ x2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
x |
, 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
||||||||||||||||||||
2x |
|
x2 |
|
|
x2 |
|
tdt |
||||||||||||||||||||||||||||
l = ∫ |
1 |
+ x2 dx |
= t = |
|
1 + x |
2 |
; x |
= |
|
|
t |
2 |
−1; dx = |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t2 −1 = |
||||||||||||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x = 3 t = 2; x = 8 t = 3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
t |
2 |
dt |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 + |
1 ln |
|
|
t −1 |
|
|
|
|
3 = 1 + |
1 ln 3 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= ∫ |
|
|
|
= |
∫( 1 |
+ |
|
|
|
|
)dt = t |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
t |
|
−1 |
|
2 |
|
|
t |
|
−1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
t +1 |
|
|
|
2 |
2 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2) |
Найти длину дуги кривой x = 2 cos3 t, y = 2 sin3 t |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
при 0 ≤ t ≤ π4 .
Решение
Найдем значение производных:
x′ = −6 cos2 t sin t , y′ = 6 sin2 t cos t .
π
Отсюда l = ∫4 
36 cos4 t sin2 t + 36 sin4 t cos2 tdt =
0
36
π |
π |
π |
|
|
= ∫4 |
6 cos t sin tdt = 3∫4 |
sin 2tdt = − 3 cos 2t 4 = |
3 = 1,5 . |
|
0 |
0 |
2 |
0 |
2 |
|
6. Вычисление объема тела вращения |
|||
|
Объем тела ( рис.7), образованного |
вращением во- |
||
круг оси Оx криволинейной трапеции, |
ограниченной не- |
|||
прерывной кривой |
y = f (x) , осью Оx |
и прямыми x = a и |
||
b
x = b , вычисляется по формуле Vox = π∫ f 2 ( x )dx .
|
a |
y |
y=f(x) |
|
a |
b |
х |
Рис. 7
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции x = ϕ( y ) и прямыми x = 0, y = c и
y = d( c < d ) , то объем тела, полученного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен
d
Voy = π∫x2 ( y )dy .
c
37
Пример
Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси ординат плоской фигуры, ограниченной линиями y = x2 , y = x3 .
Решение
Сделаем рисунок (рис. 8) и убедимся, что искомый объем получится в результате разности двух объемов: объема V1 , полученного от вращения вокруг оси Oy фигуры,
ограниченной линиями x = 3 y , x = 0, y =1, и объема тела
вращения V2 x = 0, y =1 .
Тогда
1
V1 = π∫( 3
0
1
V2 = π∫( 
0
фигуры, ограниченной линиями x = y ,
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y ) |
2 |
dy = π |
3 y |
3 |
|
1 |
= |
3π |
; |
||
|
5 |
|
|
0 |
|
5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y ) |
2 |
dy = π |
y2 |
1 |
= |
π |
. |
|
|||
|
2 |
|
0 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Окончательно V =V1 −V2 = 35π − π2 = 10π = 0,1π.
38
y=x3 
y=x2
Рис. 8
Задания для контрольной работы № 5
201-210. Вычислите несобственный интеграл или установите его расходимость.
|
∞ |
|
dx |
|
|
∞ |
|
|
|
||||||
201. |
∫ |
|
. |
|
202. ∫ln xdx . |
||||||||||
x(x −1) |
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
1 |
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
|
dx |
|
|
∞ |
dx |
|||||||
203. ∫3 |
|
|
|
|
204. ∫e |
||||||||||
|
|
. |
|
|
. |
|
|||||||||
( x −3 )2 |
x ln2 x |
||||||||||||||
|
∞ |
|
|
dx |
|
|
2 |
|
xdx |
||||||
205. |
∫0 |
|
|
|
|
|
206. ∫0 |
|
|||||||
|
|
. |
|
. |
|||||||||||
|
x2 + 4x +8 |
( x2 − 4 )3 |
|||||||||||||
|
1 |
|
|
x |
2 |
dx 3 . |
∞ |
|
|
|
|||||
207. |
∫ |
|
208. ∫xe−x dx . |
||||||||||||
|
0 |
|
|
1 − x |
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
39
0 |
dx |
|
|
∞ |
6x3 |
2 |
+2 |
5 dx . |
209. ∫ |
|
. |
210. ∫ |
|
||||
( x + 4 ) |
4 |
|
||||||
−4 |
|
|
1 |
|
x |
|
||
211-220. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделайте чертеж.
211. a) y = |
x2 |
, y = |
4 − 2 x2 |
; |
216. |
а) y = x2 −3x, y = 4 −3x; |
|||
|
|||||||||
|
3 |
|
3 |
|
|
б) ρ = 2sin 2ϕ |
|||
б) |
ρ = 2 +cosϕ . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
212. а) x + y = 2, x = 2, y = 2; |
217. |
а) y = 3 − x2 , y =1 − x ; |
|||||||
б) ρ =1 +cos 2ϕ . |
|
|
|
|
б) ρ = 2cos 2ϕ . |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
213. |
а) 2 y = x2 , y = |
|
3 |
− x ; |
|
|
а) y = 3x2 +1, y = 3x + 7 ; |
||
|
|
218. |
б) ρ = 3cos3ϕ. |
||||||
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) ρ = 2 −cosϕ .
214.а) y = 4 – x2, y = x2 –2x; |
219. |
а) y = 2x − x2 , y |
б) ρ =1 −sin 2ϕ . |
||
|
|
б) ρ =1 −sinϕ . |
215.а) y = (x – 1)2, y2 = x – 1; |
220. |
а) y = x2 − 2x, y |
б) ρ = 2 +sinϕ . |
|
б) ρ = 2 − sinϕ . |
|
|
=−x ;
=x ;
221-230. Найти длину дуги с помощью определенного интеграла.
221.Кривой x = 2 cos3 t, y = 2 sin3 t , ( 0 ≤ t ≤ π4 ).
222.Кривойx = 5( t − sin t ) , y = 5(1 −cos t), ( 0 ≤ t ≤ π ).
223.Кривой y = ln(sin x ) , ( π4 ≤ t ≤ π2 ).
224.Кривойx = 4(cos t + t sin t ) , y = 4(sin t −t cos t ) , ( 0 ≤ t ≤ 2π ).
40