Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

674 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Пример

2	1	( 2x −1 )	4	2	1					80
∫( 2x −1 )3 dx =				=		(( 2 2	−1)4	−( 2 1 −1)4	) =		= 10
	2	4			8					8
1				1

2.Замена переменной в определенном интеграле

При подстановке dx на ϕ′(t)dt , а также учитывая, что ϕ( α) = a,

x =ϕ(t) нужно заменить х на ϕ(t) , сменить пределы интегрирования,

ϕ( β) = b :

			b				β
			∫ f (x)dx = ∫					′
			∫ f (x)dx = ∫					f (ϕ(t))ϕ	(t)dt .
			a				α
		Рассмотрим пример.
		Пример
				1+ x = t, 1+ x = t2
3	xdx			= x =		0 t =1;			2	(t	2	−1)2tdt		2	2
∫	xdx			= x =		0 t =1;			= ∫	(t		−1)2tdt		= 2∫t2 dt −2∫dt =
0	1+ x			x = 3 t = 2;					1				t	1	1
				dx = 2tdt
=	2t3		2	− 2t	2	=	2	(8 – 1) – 2(2 – 1) =				8	.
	2t3		2		2		2					8
	3		1		1		3					3
	3		1		1		3					3

При нахождении интегралов от иррациональных функций, часто необходимо сделать тригонометрическую замену.

	Пример
2	4x	2	x = 2 sin t	dx = 2 cos tdt
∫1	4x	−dxx2	= x =1 t =	π	; x =	2 t =	π =
				6			4

ππ

= 4∫4	sin2 tdt = 2∫4	( 1 − cos 2t )dt = ( 2t − sin 2t )	π		π	−1 +	3 .
= 4∫4	sin2 tdt = 2∫4	( 1 − cos 2t )dt = ( 2t − sin 2t )	π4	=	π	−1 +	3 .
π	π		6		6		2
6	6

3.Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

Если функции u = u( x ) и v = v( x ) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b], то имеет место формула

b	b	b
∫udv = uv	b	− ∫vdu .
a	a	a

Данная формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Пример

∫xe−x dx = u = x −x				du =−xdx	=
1			dv = e dx v = −e
0			dv = e dx v = −e
		1			1
	1
	1
= −xe−x		+ ∫e−x dx = −e−1 +0 − e−x			= −e−1 − e−1 +1 =
	0	0			0

= −2e−1 +1 .

4. Приближенное вычисление интегралов

Иногда нельзя вычислить интеграл по формуле Ньютона – Лейбница, так как подынтегральная функция может

быть слишком сложна или интеграл от нее будет «неберущимся». Тогда интеграл вычисляется приближенными методами. Рассмотрим самый простой из них: метод прямоугольников.

Для вычисления интеграла ∫b f (x)dx отрезок [a, b] ра-

		a
зобьем	на n	равных частей длиной h =		b − a	:
зобьем	на n	равных частей длиной h =		n	:
				n
x0 = a;	x1 = a + h;	x2 = a + 2h;...; xi	= a + ih;...; xn = b . Вы-

числим значения функции y=f(x) в точках деления и в точ-

ках x0 и xn : y0 = f (x0 ); y1 = f (x1 );...; yn = f (xn ) . Тогда имеют место такие приближенные равенства:

∫b f (x)dx ≈ h(y0 + y1 + y2 +... + yn−1 ),

или ∫b f (x)dx ≈ h(y1 + y2 +... + yn ).

Обычно вычисляют значения интеграла по обеим формулам и берут среднее арифметическое полученных значений.

Рассмотрим пример.

Пример

Интеграл ∫2 xdx вычислить точно по формуле Нью-

тона-Лейбница и приближенно по формуле прямоугольников. Найти абсолютную и относительную погрешности вычисления. Отрезок разбить на 10 равных частей (n=10). Промежуточные вычисления вести с тремя знаками после запятой.

Решение

Сначала вычислим интеграл по формуле Ньютона-

Лейбница : ∫2	xdx =	2 x1,5	2
1		3	1

=	2	( 8 −1) ≈ 1,219 .
	3

Вычислим интеграл приближенно, для этого составим таблицу значений подынтегральной функции. При этом

h=		1 −0				=0,1.
h=						=0,1.
		10
	x		1		1,1					1,2	1,3				1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0
	y		1		1,049					1,095	1,14				1,183	1,125	1,265	1,304	1,342	1,378	1,414
По первой формуле прямоугольников имеем
								9								≈ 1,20 .
I1 = 0,1							∑yi = 0,1 11,981									≈ 1,20 .
						i=0
По второй формуле получим
I2								10								≈ 1,371.
I2		= 0,1 ∑yi = 0,1 13,702														≈ 1,371.
						i=1
Тогда I							=		I1 + I2			=1,286 .
Тогда I							=					=1,286 .
										2
Найдем абсолютную погрешность вычисления
	=			1,219 −1,286									= 0,067 .
	=			1,219 −1,286									= 0,067 .
Относительная погрешность будет равна
					δ =			I		100% =				0,067 100 % = 5,21% .
								I						1,286

Задания для контрольной работы №4

171-180. Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах результаты проверить дифференцированием.

171. 1) ∫ln4 xxdx ; 2) ∫xe2 x dx ; 3) ∫ x( x dx+ 4 )2 ; 24

∫sin2 3xdx ;

5) ∫

−

3dx

x + 2

172.

1) ∫

tgx +1dx

; 2) ∫ln( x + 2 )dx ;

3) ∫

;

cos2 x

( x − 4 )( x + 2 )2

∫cos3 xdx ;

5) ∫

x +1

dx .

x +1 +1

173.

1) ∫

x2dx

;

2) ∫arcsin 2xdx ;

3) ∫

x + 3

dx ;

2x3 + 4

x2 + 4x + 9

∫tg 2 2xdx ;

5) ∫

x +5

174.

1) ∫

2 + 4 ln x

dx ; 2) ∫arctg2xdx ; 3) ∫cos2 4xdx ;

∫

+ 3

dx ; 5) ∫

4 − x2

dx .

( x −1)2 ( x +1)

175.

1) ∫x

1 − x2 dx ;

2) ∫x sin 3xdx ;

3) ∫

x dx ;

2dx

x +1

∫sin3 x cos2

xdx ;

5) ∫

xdx

+8x +

176.

;

2) ∫arccos 2xdx ; 3) ∫

;

1 −9x2

x( x −1)2

∫sin

x cos

xdx ;

∫

(

x )

177.

1) ∫3

xdx

2 ;

2) ∫

x ln xdx ;

3) ∫cos4 2xdx ;

1 −9x

∫

1 + 4x2

dx ;

∫

x2 ( x +1)

( 1 + x2

178.

1) ∫

xdx

;

∫x ln( x +1)dx ; 3) ∫tg

xdx ;

(1 + x2 )3

4) ∫

x2 dx

; 5) ∫

1 + x2

dx .

( x −1)( x − 2 )( x −3)

179.

1) ∫3

1arctgx+ x2

dx ;

2) x cos 2xdx ;

3) ∫3

xdx+ x ;

4) ∫

x −1

dx ;

5) ∫

cos3 xdx

sin2

x .

x2 ( x −2 )

180.

1) ∫ x 3 ln x

;

∫x 5

dx ;

∫

;

sin4 x

4) ∫

; 5)

∫

2 .

x 2x +

2x + 3 − x

181-190. В заданиях

вычислить интеграл

∫b

f (x)dx точно

по формуле Ньютона-Лейбница и приближенно по формуле прямоугольников. Отрезок [a, b] разбить на 10 частей.

Найти абсолютную и относительную погрешности вычисления. Промежуточные вычисления вести с четырьмя знаками после запятой. Приближенное значение интеграла привести с округлением до третьего десятичного знака.

	2		x2 dx								16
181.	∫							.	182.		∫4		xdx .
181.	∫		( x	3	+	1)	2	.	182.		∫4		xdx .
	1		( x		+	1)						1
	8					1			2	1 − x2
184.	∫	x		+ 3			dx .		185. ∫				dx .
184.	∫	x		+ 3			dx .		185. ∫		x	4	dx .
	1					x			1		x
187.	4	1 + 2				x	dx .		188.	28		x −1		dx .
187.	∫			x	2		dx .		188.	∫		3		dx .
	1			x						4		3

2	x4 +1
183. ∫				dx .
183. ∫		x	2	dx .
1		x
10
186. ∫	x −1dx .
1
189. ∫1			dx			.
189. ∫1		(x +1)			2	.
	0	(x +1)

	2		2		4
190.	∫1	x		+		dx .
190.		x		+	x3	dx .
					x3

190-200. В заданиях вычислить интеграл ∫b

f (x)dx

по фор-

муле Ньютона-Лейбница, используя метод подстановки.

2 dx2

x2+1

191.

∫

192. ∫

dx .

193.

∫e

x dx .

1 x

( x

+1)

dx2

∫2

2 .

194.

∫

195.

196.

∫

2 2

x x

−

2 x

1 − x

x (x +

197.

∫2 x

198. ∫1

16∫

x2 −1 .

. 199.

x( 4 x +1) .

x( 5 − 4 ln x )2

1 ( arctgx − 3)2

200.

∫

1 + x2

dx .

III. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1. Несобственный интеграл I рода

Пусть функция f ( x ) определена и непрерывна на промежутке [a;+∞). Если существует конечный предел

lim ∫ f ( x )dx , то его называют несобственным интегралом

b→+∞ a

+∞

первого рода и обозначают ∫ f ( x )dx . В этом случае гово-

рят, что несобственный интеграл сходится. Если указанный предел равен бесконечности или не существует, то интеграл

расходится.

Аналогично определяют несобственный интеграл на

b	b
промежутке (− ∞;b]: ∫ f ( x )dx = alim→−∞ ∫ f ( x )dx .
−∞	a

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой:

+∞ ñ +∞

∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx ,

−∞ −∞ ñ

где с– произвольное число. В этом случае интеграл сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа.

Отметим,	что если непрерывная функция f ( x ) ≥ 0
	[a;+∞)	+∞
на промежутке	[a;+∞)	и интеграл ∫ f ( x )dx сходится, то

геометрически он равен площади бесконечно длинной криволинейной трапеции (рис.2).

y
		у=f(x)
0		x
	a	x
		Рис. 2

2. Несобственный интеграл II рода

Пусть функция f ( x ) определена и непрерывна на промежутке [a;b) и имеет бесконечный разрыв при x = b .

		b−ε
Если существует конечный предел	ε→lim0+0	∫ f ( x )dx , то его
		a

называют несобственным интегралом второго рода и обо-

значают ∫ f ( x )dx . Если предел в правой части существует,

то несобственный интеграл сходится. Если этот предел равен бесконечности или не существует, то интеграл расхо-

дится.

Аналогично, если функция f ( x ) терпит бесконечный разрыв в точке x = a , то полагают

b		b
∫ f ( x )dx =	ε→lim0+0	∫ f ( x )dx .
a		a+ε

Если функция терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [a;b], то несобственный интеграл второго рода оп-

b c b

ределяется формулой ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx . В

a a c

этом случае интеграл называется сходящимся, если оба несобственных интеграла справа сходятся.

Примеры

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

+∞dx

1. ∫1 x3 .

Решение

+∞dx

lim

−

= −

−1)

∫1

b→+∞ ∫1

b→+∞

2x2

∫

x ln x

Решение

= lim

2 d ln x

= −lim(ln

ln x

)

1 x ln x

1+ε

ln x

1+ε

∫

ε→0

∫

ε→0

= −lim(ln

ln x

)

= −(ln ln 2 −lim ln ln(1 +ε))= −∞ .

ε→0

1+ε

ε→0

Интеграл расходится.

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.05.2015632 Кб51математика II 2008 6 лет.pdf
#
01.07.20254 Мб1Математика УЧЕБНИК.doc
#
17.05.2015458 Кб35математика ч 2.pdf
#
17.05.2015664 Кб41Математика ч.2.pdf
#
17.05.2015637 Кб66Математика.pdf
#
17.05.2015674 Кб34математика.pdf
#
01.07.202597 Кб0Материал для станций (1).doc
#
17.05.20151 Мб36Материалка.pdf
#
01.07.20252 Мб3Материаловедение.doc
#
01.03.2025221 Кб5Материаловедение(220401.65).doc
#
01.03.2025236 Кб6МатериаловедениеВ,Т(190302.65,190303.65).doc