математика
.pdfcos x : − A −3B + 2A = 0 .
Из данной системы получаем A = 0,3 и B = 0,1. Откуда частное решение равно y* = 0,3 cos x +0,1 sin x . Окончательно имеем общее решение:
y= C1ex + C2 e2 x + 0,3cos x + 0,1sin x .
5.Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Рассмотрим систему вида
|
dx1 |
|
= a x + a x |
2 |
+ f |
( t ) |
|
||||||
|
11 1 12 |
1 |
|
|||
dt |
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
= a21 x1 + a22 x2 + f2 ( t ) |
||||
|
|
|
||||
dt |
|
|
|
|
|
гдеaij – постоянные числа, а fi ( t ) – заданные числа.
Данную систему будем решать путем сведения ее к одному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами. Проиллюстрируем это на примере.
Пример
|
dx1 |
|
= 3x |
−5x |
2 |
|
|||||
|
1 |
|
|||
Пусть дана система dt |
|
|
|
. Найти ее реше- |
|
dx2 |
|
= −x1 + 7x2 |
|||
|
|
|
|||
dt |
|
|
|
|
ние.
61
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx1 |
& |
|
|
|
|
|
Решим |
систему, введя |
обозначение |
|
|
|
= x1 |
и |
|||
|
dx2 |
|
dt |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= x2 . Выразим из второго уравнения x1 = 7x2 − x2 . Най- |
||||||||||||
|
dt |
|
& |
|
|
|
|
|
& |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= 7x2 |
− x2 . |
|
|
|||
дем производную из этого выражения x1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
& |
& |
&& |
|
|
|
|
|
|
|
Подставим данные выражения в первое уравнение |
||||||||||
системы |
и |
получим |
7x2 |
− x2 = 21x2 −3x2 −5x2 или |
|||||||||
|
x2 |
−10x2 |
|
|
& |
&& |
|
& |
|
|
|
||
|
+16x2 = 0 . Получили линейное однородное урав- |
||||||||||||
&& |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим соответствующее характеристическое уравнение
λ2 |
−10λ +16 = 0 . Его корни равны λ = 2 ; |
λ |
2 |
= 8 , и общее |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
решение однородного уравнения равно |
x |
2 |
= C e2t + C |
e8t . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
Найдем |
вторую |
|
переменную, для |
этого |
вычислим |
|||||||
& |
= 2C1e |
2t |
+8C2e |
2t |
и найдем первую переменную. |
|
|
|||||
x2 |
|
|
|
|
Ответ: x1 = 5C1e2t −C2e8t , x2 = C1e2t + C2e8t .
Задания для контрольной работы №6
251-260. Решить квадратное уравнение. Корни записать в алгебраической, тригонометрической, показательной формах и изобразить на координатной плоскости.
251. |
z 2 |
+ 2z + 4 = 0 . |
252. |
z 2 |
− 3z + 3 = 0 . |
|
253. |
z 2 |
− 2 3 z + 4 = 0. |
254. |
z2 + 4z +16 = 0 . |
||
255. |
z 2 |
− 2z + 2 = 0 . |
256. |
z 2 |
− 4z + 8 = 0 . |
|
257. |
z 2 |
− 3z + 9 = 0 . |
258. |
z 2 |
+ |
3 z + 3 = 0 . |
259. |
z 2 |
− 3 3 z + 9 = 0 . |
260. |
z 2 |
+ |
3 z +1 = 0 . |
62 |
|
|
|
|
|
|
261-270. Найти все значения корня и изобразить их на плоскости.
261. |
4 |
−1 . |
262. |
4 |
1 . |
263. |
3 |
8 . |
264. |
4 |
16 . |
265. |
3 |
− i . |
266. |
3 |
8i . |
267. |
3 |
1 . |
268. |
3 |
−1 . |
269. |
3 |
i . |
|
|
|
270. |
4 |
−16 . |
|
|
|
271-280. Найти значение выражения. Ответ записать в алгебраической, тригонометрической, показательной формах и изобразить на координатной плоскости.
271.
272.
273.
274.
275.
276.
277.
|
|
π |
+ i sin |
|
π |
|
+ e |
− |
2π |
i |
+ |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5 cos |
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
(1 −i ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
(− |
|
|
|
3 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
π |
+ i sin |
π |
|
|
|
π i |
. |
|||||||||||||||
8 |
3 −i ) + |
cos |
4 |
|
4 |
|
−3 e 2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 + i |
|
2 |
+ (cosπ +i sin π)− |
|
|
|
|
3π |
i |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 e 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(i 3 − |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4π |
i |
− |
4 |
|
|
|
|
π |
+ i sin |
π |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1 ) |
− 4 3 e 3 |
cos |
6 |
6 |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( |
5 |
+ 4 |
π i |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
+ i sin |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 + i ) |
|
e 2 |
+ 4 cos |
3 |
3 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (1 −i ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|||||||||||||
4 cos |
6 |
+ i sin |
|
|
|
+ 4 |
|
3 e |
3 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(1 +i |
|
|
4 |
|
3π |
i |
− |
3 |
|
|
|
|
|
|
π |
|
+i |
sin |
π |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3 ) |
+ e 2 |
|
|
cos |
2 |
2 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63
|
|
− |
2π |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|||
278. |
8 e |
3 − (i − |
|
|
|
|
+ i |
sin |
|||||||||||
|
3 ) |
+8 3 |
cos |
6 |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|||
|
16 |
|
|
|
π |
+ i sin |
π |
|
− 2 |
|
2π |
i |
+ (i − |
3 |
4 |
||||
279. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
cos |
3 |
|
3 |
|
e 3 |
). |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
280. 2 2 e |
π i |
− (i 2 |
− |
3 |
|
cos |
π |
+ i sin |
π |
|
|
2 ) |
+10 |
4 |
4 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
281-300. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.
281. |
y′= |
y2 |
. |
|
xy − x2 |
|
283.y′= y2 + 5 y +8.
x2 x
285.y′+ 2ytg x =sin x .
287. |
y′+ 2 |
y |
= x3 |
+ 4 . |
|
|
x |
|
|
289.y′+ xy = x2 ln1 2 x .
291. |
y′′− 2 |
y′ |
|
|
=(x +1)5 . |
|
x + |
1 |
|||
|
|
|
|||
293. |
y y′′= −(y′)3 . |
295.y′′(2 + y)=3(y′)2 .
297.y′′+ (yy′2)3 − (yy′)2 = 0 .
299. y′′= y′ (1 + (y′)2 ).
282.y′+ 2x y = ex3 .
284. |
y′= |
x2 + 3xy − y2 |
. |
|||||
286. |
3x2 − 2xy |
|||||||
|
y − 4x |
|
|
|
||||
|
y′= |
|
. |
|
|
|
||
288. |
x + y |
|
|
|
||||
2xy y′= x2 |
+ y2 . |
|||||||
290. |
y′+ |
y2 |
−3 |
y |
+1 = 0 . |
|||
|
x2 |
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
292. |
′′ |
+sin 2x) |
|
′ |
cos2x |
|||
y (1 |
= 2y |
.
294.y′′ tg x = 2y′.
296.y′′+ 2x y′= 4x .
298.y′′(y + 2)= 4(y′)2 .
300. y′′x ln x = y′.
64
301-320. Найти частное решение дифференциального
уравнения, удовлетворяющее заданным начальным услови- |
|||||||||||||||||||||||||||||
ям y(x0 )= y0 , y′(x0 ) = y0′. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
301. |
y′′ ctg y + 2(y′)2 |
= 0; |
302. |
y′′ |
|
|
|
y′ |
|
y′ |
|
||||||||||||||||||
|
y(0)= π , y′(0)=1. |
|
y′ |
− 2 |
|
y |
|
= y |
; |
||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0)= y |
(0)=1. |
|
|||||||||
303. |
y′′ + |
y′ |
= |
|
2ln x |
; |
|
|
|
304. |
y′′ |
|
− |
y′ |
|
= − |
3 |
; |
|
|
|||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
y |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y3 |
|
|
|||||||||||
|
y(1)= y′(1)= 0 . |
|
|
|
|
y(0)= y′(0)=1. |
|
|
|||||||||||||||||||||
305. |
y′′− |
y′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
= 0 ; |
306. |
y′′+ 2 sin y cos3 y = 0 ; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 + 2ln |
|
|
|
y(0)= 0 , y′(0)=1. |
|||||||||||||||||||||
x |
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
y(1)= |
e |
, |
|
y′(1)= e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
307. |
y′′+3y′ tg x = 0 ; |
|
308. |
y′′+3y′ tg x =1 ; |
|
||||||||||||||||||||||||
y(0)=0, |
|
′ |
|
|
|
y(0)= 0 |
, |
y |
′( )= |
2 |
. |
||||||||||||||||||
|
|
y (0)=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||||
309. |
2 y′′− |
y′ |
|
− |
x |
= 0 ; |
|
310. |
y′′−(y′)2 tg y = y′; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
y′ |
|
|
|
|
y(0)= 0 , y′(0)=1. |
|||||||||||||||||
|
y(1)= y′(1)=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
311.y′′−3y′− 4 y = 0; y(0)=3 , y′(0)= 2 .
313.y′′+ 2 y′+10y = 0 ; y(0)= −1, y′(0)= 4 .
315. y′′ + 8y′ +16 y = 0 ; y(0)=1, y′(0)= 0 .
317.y′′ + 2 y′ +17 y = 0 ; y(0)= 4 , y′(0)= 0 .
319.y′′ − 6 y′ +13y = 0 ; y(0)=1, y′(0)=3.
312.y′′−10y′+25y = 0 ; y(0)= 0 , y′(0)= 2 .
314.y′′−4 y′+5y = 0 ; y(0)=1, y′(0)= −1.
316.y′′ + y′ − 6 y = 0 ; y(0)= 0 , y′(0)=1.
318.y′′ + 4 y′ + 4 y = 0 ; y(0)= 2 , y′(0)= −1.
320.y′′ + 4 y′ = 0 ; y(0)= 0 , y′(0)= 4 .
65
321– 330. Решить дифференциальное уравнение.
321. |
y′′+ 6 y′+ 9 y = −3sin 3x . |
322. |
y′′− 6 y′+10 y = 6e3 x . |
323. |
y′′−8y′+16y =8cos4x . |
324. |
y′′− 4 y′=3 |
325. |
y′′ + 25 y = e−5 x . |
326. |
y′′+ 4 y′+ 4 y =8sin 2x . |
327. |
y′′ − 4 y′ + 3y = 4ex . |
328. |
y'' + 4y' + 20y = |
|
|
|
=5 cos 4x – 3 sin 4x. |
329. |
y′′−10y′+ 25y =10. |
330. |
y′′+ 9 y = 6e3 x . |
|
331 – 340. Решить систему дифференциальных урав- |
||
нений. |
|
|
|
331. |
x′= x − y, |
332. |
x′+ 2x + 4 y = 0, |
|
|
|
|
|
y′=5x − y. |
|
y′+ x − y = 0. |
333. |
x′ = 2x + 3y, |
334. |
x′ = 4x − y, |
|
|
|
|
|
y′ = 4x − 2 y. |
|
y′ = x + 2 y. |
335. |
x′ = 5x − y, |
336. |
x′ = x + y, |
|
|
|
|
|
y′ = 3x + y. |
|
y′ = −2x − y. |
337. |
x′ = 3x − y, |
338. |
x′ = −2x + 5y, |
|
|
|
|
|
y′ = x + y. |
|
y′ = x + 2 y. |
339. |
x′ = 2x − 4 y, |
340. |
x′ = 2x + y, |
|
|
|
|
|
y′ = x − 3y. |
|
y′ = −x + 4 y. |
66
Вопросы к экзамену
1.Понятие первообразной и неопределенного интеграла.
2.Свойства неопределенного интеграла, таблица основных интегралов.
3.Замена переменной в неопределенном интеграле и метод интегрирования по частям.
4.Интегрирование тригонометрических функций.
5.Интегрирование рациональных дробей.
6.Определение определенного интеграла и его геометрический смысл.
7.Основные свойства определенного интеграла.
8.Формула Ньютона-Лейбница.
9.Замена переменной в определенном интеграле.
10.Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от разрывных функций.
11.Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат.
12.Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе координат.
13.Вычисление длины дуги кривой.
14.Вычисление объема тела вращения.
15.Комплексное число. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи. Действия с комплексными числами.
16.Основные понятии дифференциальных уравнений первого порядка.
17.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
18.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
19.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
20.Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
67
21.Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
22.Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Библиографический список
1.Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. Н.Ш.Крамера. – М.: ЮНИТИ, 2000.
2.Высшая математика: Метод. руководство / А.Р. Данилин, И.Я. Кац. – Екатеринбург: УрГУПС, 2002.
3.Методическое руководство и контрольные задания (части1-4) / В.И.Белугин,Т.В.Величко, Э.Е.Поповский; Под общ. Ред. И.Я. Каца. – Екатеринбург: УрГУПС, 1995.
4.Высшая математика: Метод. руководство / В.И.Белугин, Т.В.Величко, Э.Е.Поповский. – Екатеринбург: Ур-
ГУПС, 2002.
5.Конспект лекций по высшей математике: Учебник для вузов /Д.Т.Письменный.–М.: Рольф, 2001.
6.Сборник домашних заданий по курсу высшей математики: Метод. руководство / В.Я.Егоров, А.И. Недвецкая, М.А. Толмачева. – Екатеринбург: УрГУПС, 2004.
68
Список рекомендуемой литературы
Основная литература:
1.Д.Т.Письменный. Конспект лекций по высшей математике: Ч.1-2. М: Айрис-пресс, 2006.
2.П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. I. – М.:
Высш. шк., 1999. – 304 с.
3.Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. II. – М.:
Высш. шк., 1999. – 416 с.
Дополнительная литература
1.В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1986. – 576 с.
2.В.С. Шипачев. Высшая математика. – М.: Высш. шк., 2001. – 479 с.
69
|
Оглавление |
|
ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................. |
3 |
|
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И РЕКОМЕНДАЦИИ |
||
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ................................ |
4 |
|
I. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙИНТЕГРАЛ......................................................... |
4 |
|
1. |
Понятие неопределенного интеграла..................................................... |
4 |
2. |
Метод непосредственного интегрирования.......................................... |
6 |
3. |
Метод замены переменной..................................................................... |
7 |
4. |
Метод интегрирования по частям........................................................ |
8 |
5. |
Метод интегрирования рациональных функций................................. |
10 |
6. |
Методы интегрирования некоторых классов тригонометрических |
|
функций.................. ................................................................................... |
15 |
|
7. |
Методы интегрирования некоторых иррациональных функций...... |
16 |
II. ОПРЕДЕЛЕННЫЙИНТЕГРАЛ........................................................... |
19 |
|
1. |
Понятие определенного интеграла и его свойства............................. |
19 |
2. |
Замена переменной в определенном интеграле.................................... |
21 |
3. |
Метод интегрирования по частям в определенном интеграле...... |
22 |
4. |
Приближенное вычисление интегралов................................................ |
22 |
Задания для контрольной работы №4...................................................... |
24 |
|
III. НЕСОБСТВЕННЫЕИНТЕГРАЛЫ. ПРИЛОЖЕНИЯ |
|
|
ОПРЕДЕЛЕННОГОИНТЕГРАЛА............................................................ |
28 |
|
1. |
Несобственный интеграл I рода........................................................... |
28 |
2. |
Несобственный интеграл II рода.......................................................... |
29 |
3. |
Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе |
|
координат................................................................................................. |
31 |
|
4. |
Вычисление площадей плоских фигур в полярной |
|
системе координат ................................................................................. |
32 |
|
5. |
Вычисление длины дуги плоской кривой................................................ |
35 |
6. |
Вычисление объема тела вращения ...................................................... |
37 |
Задания для контрольной работы № 5..................................................... |
39 |
|
IV. КОМПЛЕКСНЫЕЧИСЛА. |
|
|
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯ................................................. |
42 |
|
1. |
Комплексные числа................................................................................. |
42 |
2. |
Дифференциальные уравнения первого порядка................................. |
49 |
2.1. Уравнения с разделяющимися переменными................................................. |
50 |
|
2.2. Однородные дифференциальные уравнения................................................... |
51 |
|
2.3. Линейные дифференциальные уравнения ....................................................... |
52 |
|
3. |
Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие |
|
понижение порядка.................................................................................. |
53 |
70