Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

673.66 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Получим

= x +1 +

x3 − x2

+ x −1

x3 − x2 + x −1

Простейшими дробями называются правильные дроби

следующих видов:

;

Ax + B

;

Ax + B

x − a

( x − a )k

+ px + q

( x2 + px + q )k

где A, B, a, p, q – действительные числа, k ≥ 2 – целое положительное число, p2 − 4q < 0 .

Всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей. Для этого знаменатель правильной дроби запишем в виде произведения линейных и квадратичных многочленов:

Qn (x) = a0 (x − a)(x −b)(x − c)...(x2

+ px + q)(x2

+ lx + s) ,

где

a, b, c

–

действительные

корни

знаменателя и

− 4q < 0 ,

l 2

− s < 0 . Некоторые из корней

a, b, c

могут

k раз,

совпадать. Если какой-то корень встретился

то он

называется корнем кратности

k , если k = 1 , то корень на-

зывается простым.

Пусть

a – простой корень, b – корень кратности 2, c –

корень кратности 3, то есть

Qn ( x ) = a0 ( x − a )( x −b )2 ( x − c )3 ...( x2 + px + q )( x2

+ lx + s ).

Тогда

R( x ) =

x − a

( x −b )

( x

− b )2

( x − c )

( x − c )2

+ ... +

Mx + N

Ex + F

( x − c )3

x2 + px + q

x2 + lx + s

Здесь A, B1 , B2 , C1 , C2 , C3 , M , N , E, F – неопределенные ко-

эффициенты, которые находят методом сравнения коэффициентов при одинаковых степенях x , а также методом ча-

стных значений аргумента. Тогда исходный интеграл сводится к сумме табличных интегралов.

Примеры

1. ∫	x2 − 2x + 2	=∫	x2 − 2x + 2
				dx .
	x( x2 + 2x −8 )		x( x − 2 )( x + 4 )

Решение

Для нахождения этого интеграла разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

x2 − 2x + 2		=	A	+	B	+	C		.
x( x − 2 )( x +	4 )		x		x − 2		x +	4

Найдем А, В, С методом частных значений аргумента. Для этого приведем простейшие дроби с неопределенными коэффициентами к общему знаменателю и приравняем числитель получившейся дроби и числитель исходной правильной дроби.

x2 − 2x + 2 = A(x − 2)(x + 4) + Bx(x + 4) +Cx(x − 2);

x = 0 : 2 = −8A A = − 1

;

x = −4 : 26 = 24C C =

;

1 .

12 .

x = 2 : 2 =12B B =

Тогда

∫

x2 − 2x + 2

dx = −

1 ∫dx

x(x − 2)(x + 4)

∫

= −

1 ln

x −2

x +

2. ∫

x2 −3x + 2

dx .

x3 + 2x2 + x

16 ∫ xdx− 2 +

+ 1213 ln x + 4 +С.

Решение

Разложим правильную рациональную дробь на про-

стейшие, учитывая, что x = 0 является								простым		корнем
знаменателя дроби, а x = −1 – корнем кратности 2:
	x2 −3x + 2	=	x2 −3x + 2	=	A	+	B	+	C	.
	x3 + 2x2 + x		x( x +1)2		x		x +1		( x +1)2

Отсюда x2 − 3x + 2 = A( x +1)2				+ Bx( x +1) + Cx . Используем

метод сравнения коэффициентов при одинаковых степенях x . Для этого распишем правую часть подробнее, собрав коэффициенты при одинаковых степенях:

x2 −3x + 2 = x2 ( A + B ) + x( 2A + B +C ) + A .

1 = A + B

x : −3 = 2 A + B +C

: 2 = A.

Из этой системы получаем, что А=2. Тогда из первого

уравнения

B = −1 .

Из второго уравнения находим C = −6 .

Следовательно,

−3x + 2

−1

−6

x( x +1)2

x +1

( x +1)2

Замечание.

Рекомендуется комбинировать два способа определе-

ния коэффициентов (как приведено ниже):

= 0 :

A = 2

= −1:

= −C

: 1 = A

+ B. В = −1.

Продолжим решение исходного интеграла:

x2 −3x + 2

−1

−6

dx =

∫ x( x +1)2

∫

x +1

( x +1)2

d( x +1)

−

d( x +1)

= 2 ln

− ln

x +1

−

= 2∫ x −

∫

x +1

6∫( x +1)2

−6( −1)

+ C = 2 ln

− ln

x +1

+ C .

3. ∫

13dx

(x −1)(x2

+ 2x +10)

Решение

Bx + C

( x −1)( x2 + 2x +10 )

x −1

x2 + 2x +10

Найдем коэффициенты A, B, C :

13 = A( x2 + 2x +10 ) +( Bx + C )( x −1)

x =1 : 13 =13A

0 = A + B

x2 :

= 2 A + C − B.

x :

Откуда, A = 1,

B = −1, C = −3 .

Тогда

−

x + 3

( x −1)( x2 + 2x +10 )

−

x2 + 2x +10

Получим

13dx

x + 3

∫

= ∫

− ∫

dx =

9x −1)( x2 + 2x +10 )

x −1

x2 + 2x +10

= ∫

d (x −1)

− ∫

x +1 + 2

x +1 = t

x −1

dx =

d (x +1) = dt

(x +1)2 + 9

tdt

d (t2 + 9)

= ln

x −1

− ∫

− 2∫

= ln

x −1

− 2 ∫

t2 + 9

−

t2 + 9

−

2 arctg

+C = ln

x −1

− 1 ln

(x +1)2

+ 9

−

2 arctg

x +1

+C.

6.Методы интегрирования некоторых классов тригонометрических функций

При нахождении интегралов типа ∫sinm x cosn xdx используются следующие приемы:

1)замена sin x = t , если n – целое положительное нечетное число;

2)замена cos x = t , если m – целое положительное нечетное число;

3) формулы понижения степени 2 cos2 x =1 + cos 2x ,

2 sin2 x =1 − cos 2x , если n, m – целые неотрицательные четные числа. Рассмотрим примеры нахождения интегралов от тригонометрических функций.

Примеры

∫sin4 x cos xdx =

sin x = t

= ∫t4dt =

+ C =

dt = cos xdx

sin5 x

+C .

∫sin

xdx = ∫

(sin

x )

− cos 2x

dx = ∫

dx =

−

2 cos 2x + cos

dx −

cos 2xdx +

∫

∫cos2

2xdx =

−

sin 2x

1 ∫

1 + cos 4x

dx =

− sin 2x +

+ sin 4x

+C =

3x − sin 2x + sin 4x

+C .

8 4

3. ∫tg 4 xdx = ∫tg2 x tg 2 xdx =

tg 2 x =

−1

cos

= ∫tg

−1 dx = ∫tg

− ∫tg

xdx

cos2 x

cos2

tgx = t

∫t

dt − ∫

− ∫

−

1 dx =

dt =

cos

cos2 x

+ ∫dx = tg3 x −tgx + x + C .

(sin2

x + cos2

x )dx

sin2

∫

= ∫

cos4

∫cos4

x dx +

cos4

+ ∫

= ∫tg

tgx = t

+ tgx +C =

cos2

cos2 x

dt =

cos2 x

= ∫t2dt + tgx + C =

+ tgx +C = tg3 x

+ tgx + C .

7.Методы интегрирования некоторых иррациональных функций

Если интеграл содержит иррациональности вида

k1 k2

x n1 ,x n2 ,..., то он сводится к интегралам от рациональных функций заменой x = tm , где m –наименьшее общее кратное знаменателей степеней n1 ,n2 ,.... Аналогично, если интеграл

k1 k2

содержит иррациональности вида ( ax + b )n1 ,( ax + b )n2 ,... ,

то делается подстановка ax + b = tm . Покажем этот метод на примерах.

Примеры

4 x = t

1. ∫ x dx+ 4 x

= x = t4

= ∫t42t3+dtt = 4∫1t2+dtt =

dx = 4t3dt

= 4∫

t2 −1 +1

dt = 4∫( t −1)dt + 4∫

= 4

− 4t +

t +1

+ 4 ln t +1 + C = 2 x − 44 x + 4 ln 4 x +1 +C .

3 x +1 = t

2. ∫

3dx

= x = t

3 −1 = ∫3t2dt

= 3∫( t − 2 )dt +

x +

dx =

2 + t

3t2dt

+ 3∫

dt = 3

−6t +12 ln

t +1

+ C =

t +

3( x +1)

−63 x +1

+12 ln 3 x +1 +1 + C .

Кроме этого, встречаются иррациональности, от которых можно избавиться при помощи тригонометрических замен.

Интегралы вида ∫R(x, a2 − x2 )dx , ∫R(x, a2 + x2 )dx ,

∫R(x, x2 − a2 )dx приводятся к интегралам от рациональ-

ных относительно sin t иcos t функций с помощью надлежащей тригонометрической подстановки: для первого интеграла x = a sin t , для второго x = a tgt и для третьего

x = cosa t (при этом могут использоваться сходственные

функции cos t,

sin t,

ctgt ). Рассмотрим примеры.

Примеры

9 − x2

x = 3sin t

1 −sin2 t cos t3dt

1. ∫

dx = dx = 3cos tdt = ∫

9 sin2 t

t = arcsin

= ∫

cos2 tdt

= ∫

−sin2 t

= ∫

−

∫dt =

sin2 t

= −ctgt −t +C = −ctg arcsin

− arcsin

+C .

x =

cos t

2. ∫ x

2 sin tdt

= ∫cos2 t

2 sin tdt

x2 − 4

= dx = cos2 t

− 4

t = arccos

cos t

cos2

sin t cos t

acr cos

= ∫

dt =

∫dt =

+ C =

+C .

2 cos t sin t

x = tgt

3. ∫ x

1 + x2

= dx = cos2 t

=∫cos2 t tgt 1 + tg 2t

t = arctgx

= ∫

= ln

+ C = ln

arctgx

+ C .

sin t

II. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.Понятие определенного интеграла и его свойства

Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a, b]. Разобьем этот отрезок на n частичных отрезков: a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b так, что длина i-го отрезка равна xi = xi − xi−1 . Выберем на каждом отрезке произвольным образом точку ci [xi , xi−1 ] и вычислим значение функции в ней, то есть величину f (сi ) . Составим сумму

				n
Sn = f (c1 )	x1 +... + f (cn ) xn = ∑ f (ci ) xi . Эта сумма на-
			i=1
зывается интегральной суммой (рис. 1).
y
y		y=f(x)
f(ci)

a c1 x1 c2 x2

xi-1 ci xi

cn b

Рис. 1

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке

[a, b] называется предел интегральной суммы при стремле-

нии к нулю максимальной длины частичных отрезков:

f (x)dx =

lim

= lim

f (c

)

∫

∑

max x →0

n→∞

i=1

Если функция

f ( x )

непрерывна на отрезке [a, b], то

этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные интервалы, ни от способа выбора точек ci в ка-

ждом из них.

Если f (x) ≥ 0 на [a, b], то определенный интеграл ра-

вен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, графиком функции y=f(x) и прямыми x=a, x=b.

Свойства определенного интеграла

1.	∫b ( f (x) + g(x))dx = ∫b		f (x)dx + ∫b g(x)dx .
	a	a	a
2.	∫b kf (x)dx = k ∫b	f (x)dx .

3.∫b f (x)dx = −∫a f (x)dx .

4. ∫b		f (x)dx = ∫c	f (x)dx + ∫b			f (x)dx .
	a	a			c
5. Формула Ньютона-Лейбница:
∫b	f ( x )dx = F( x )			b	= F( b ) − F( a ) ,
∫b	f ( x )dx = F( x )			b	= F( b ) − F( a ) ,
a				a

где F(x) – первообразная для функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b].

Рассмотрим применение этой формулы на примере.

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.05.201511.02 Кб18Матем.docx
#
17.05.2015632.36 Кб41математика II 2008 6 лет.pdf
#
17.05.2015457.66 Кб26математика ч 2.pdf
#
17.05.2015664.38 Кб37Математика ч.2.pdf
#
17.05.2015637.39 Кб56Математика.pdf
#
17.05.2015673.66 Кб26математика.pdf
#
17.05.20151.44 Mб27Материалка.pdf
#
17.05.20153.84 Mб255матмоделирование.doc
#
17.05.2015136.7 Кб37МАТМОДЕЛИРОВАНИЕ.doc
#
17.05.2015323.76 Кб24маятник Обербека 2.docx
#
17.05.201593.18 Кб97МДК Лекции Ягур.doc