математика II 2008 6 лет

где k = 0,1,2,..., n −1.

Примеры

1.Найти все значения корня 3 (− 3 +i) и изобразить их на комплексной плоскости.

Решение

Найдем аргумент и модуль комплексного числа

51

Ответ записать в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

Решение

Представим данное выражение в виде суммы трех ком-

= −2 3 − 6i .

z = z14 + z2 + z3 = − 4 + 2 3 + 2i −2 3 −6i = −4 − 4i .

Мы нашли алгебраическую форму данного выражения. Запишем тригонометрическую и показательную формы:

Осталось изобразить это число на комплексной плоскости (рис.13).

53

y

x 0

ϕ

Z

Рис. 13

2.Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальным уравнением называется уравне-

ние, связывающее независимую переменную x , искомую функцию y и производные этой функции. Общий вид диф-

ференциального уравнения F(x, y, y′, y′′,..., y(n) ) = 0 . Поря-

док ( n ) старшей производной, входящей в уравнение, назы-

вается порядком дифференциального уравнения.

Рассмотрим уравнения первого порядка. Оно связывает независимую переменную х, искомую функцию y и ее первую производную y′. Поэтому в общем виде его можно за-

писать так: F(x, y, y′) = 0 . Разрешая его, если это возможно, относительно производной y′, получим y′ = f (x, y) . Реше-

нием дифференциального уравнения первого порядка назы-

вается всякая функция y =ϕ(x) , которая при подстановке

уравнения называется интегральной кривой. Общим реше-

нием уравнения первого порядка называется функция y =ϕ( x,C ) , зависящая от x и произвольной постоянной C ,

54

если она удовлетворяет таким условиям: 1) она является решением дифференциального уравнения при любом допустимом значении постоянной С; 2) каково бы ни было начальное условие y( x0 ) = y0 , найдется такое значение

С = С0 , что функция y =ϕ( x,C0 ) удовлетворяет этому начальному условию, т.е. y(x0 , С0 ) = y0 . Если общее решение

дифференциального уравнения найдено в виде, не разрешенном относительно y , т.е. в виде Ф(x, y, C) = 0 , то оно

называется общим интегралом дифференциального уравнения. Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y =ϕ( x,C0 ) , кото-

рая получается из общего решения, если произвольной постоянной С придать определенное значение C = C0 . Гео-

метрически общее решение y =ϕ( x,C ) представляет собой семейство интегральных кривых на координатной плоскости. Кривая семейства, проходящая через точку M 0 ( x0 , y0 ) ,

представляет график частного решения y =ϕ( x,C0 ) . Рас-

смотрим три типа дифференциальных уравнений первого порядка.

2.1.Уравнения с разделяющимися переменными

Такое уравнение может быть представлено в виде dydx = f ( x )g( y ) . Чтобы решить такое уравнение, его следу-

ет преобразовать к виду, в котором дифференциал и функция переменной x окажутся в одной части равенства, а переменной y – в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства.

55

Пример

Решить уравнение 1 + y2 = xyy′.

Решение

был табличным, то второй интеграл можно было вычислить отдельно:

Общее решение получили в виде общего интеграла

1 + y2 − ln x + C = 0 .

2.2.Однородные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в

виде y′ = g( xy ) . Для решения данного уравнения вводят

вспомогательную функцию z = xy . Это позволяет свести ис-

ходное уравнение к уравнению с разделяющимися перемен-

56

руем данное уравнение и получим ln1 + z = ln x + ln C , или 1 + z = Cx . Возвращаясь к первоначальным переменным,

запишем ответ: 1 + xy = Cx .

Откуда y = Cx2 − x .

2.3.Линейные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид y′+ p(x) y = q(x) . Ес-

ли q(x) = 0 , то уравнение называется линейным однород-

ным, в противном случае – неоднородным. Одним из способов решения этого уравнения является поиск решения в ви-

57

дем сначала какое-либо частное решение v = v( x ) из уравнения v′+ p(x)v = 0 . Тогда функция u = u( x ) – решение уравнения u′v = q(x) . Таким образом, решение исходного

уравнения сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными.

но написать общее решение исходного уравнения. Оно будет иметь вид y = x2 ( x2 +C ) . Пусть нам дано начальное условие y(1) =1. Тогда из найденного общего решения вы-

58

делим частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию: 1 =12 (12 + C) . Отсюда С=0 и частное решение равно y = x4 .

3.Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка F( x, y, y′, y′′) = 0 называется функция

y = ϕ( x,C1 ,C2 ) , зависящая от двух произвольных постоянных. Для нахождения частного решения задают начальные условия y( x0 ) = y0 , y′( x0 ) = y0′ .

В некоторых случаях решение дифференциального уравнения второго порядка может быть сведено к последовательному решению двух дифференциальных уравнений первого порядка. Тогда говорят, что данное дифференци-

альное уравнение допускает понижение порядка. Рассмот-

рим некоторые виды дифференциальных уравнений второго порядка, допускающие понижение порядка.

1. Если дифференциальное уравнение имеет вид y′′ = f ( x ) , то оно решается последовательным интегриро-

ванием.

Пример

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

Решение

Найдем общее решение последовательным интегрированием данного уравнения:

59

y′′ = ddxy′ = xe−x ;

= −xe−x − e−x +C1 .

Найдем постоянную C1 , использовав второе начальное условие. 0 = 0 e0 − e0 +C1 . Откуда C1 =1 . Продолжим ре-

шение y′ = dydx = −xe−x − e−x +1 . Проинтегрировав обе части,

на единицу. После чего нужно решить дифференциальное уравнение первого порядка соответствующего вида.

Пример

Найти общее решение дифференциального уравнения xy′′ = y′ln yx′ .

Решение