- 1l -
лена двояко: во-первых,точной метрикой (каталоговой, осущесталяе мой с помощью геодезических сетеи) и, во-вторых, картографи
чески. Обе модели сформировались в середине ХХ в. и продолжают
развиваться и совершенствоваться. В последние годы фиrура и раз
меры Земли уточняются посредством данных, получаемых из наблюде
ний искусственных спутников Земли. При этом выявлен целый ряд
особенностей в конфигурации поверхности планеты.
Г лаn а 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Координаты - величины, оnределяющие положение любой точки на
поверхности Земли или в пространстве относительно принятой с•н.-те
мы координат.
Система координат устанавливает начальные (исходные) ТО11КИ
поверхности или линии отсчета необходимых величин - начало отсче
та координат, единицы их исчисления,
В геодезии и топографии получили применение системы rеоrра
фи~rеских, прямоугольных и полярных координат.
l. ГЕОГРАФИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
Географическими координатами являются угловые величины, на зываемые широтой и долготой, определяющие положение точки земной
поверхности относительно экватора и начального меридиана.
Долгота - двугранный угол между 11лоскостью начального мери
диана и плоскостLю меридиана, nроходящего через данную точку, из
меряемый в экваториальной плоскости (рис. 3). В качестве началь
ного меридиана избран меридиан, nроходящий через Гринвическую обсерваторию (Англия). Однако сама Гринвическая обсерватория в
настоящее время не функuионирует и сохраняется лишь как истори
ческое место. Следует заметить, что на nочетную роль начального
меридиана в разное время nретендовали Пулковский, Парижский,
Лиссабонский и др. меридианы.
Долгота точки измеряется вправо и влево от начального мери-
• |
" |
диава, т.е. бывает восточная(+) и заnадная(·) от О до |
180. |
- 12 -
lПирота - угол, образованный отвесной линиеi1 к nоверхности
геоида в данной ТО'Jке с плоскостью экватора. Строго говоря, эта
пиния не обязательно проходит чере:J Геометрический аентр Земли,
о
если ее с•{итатъ шаром. ll.Iиpoтa на экваторе равна О , на полюсах:
о ~
сЕ>верном +90 , на южном - 90 .
Географические координаты оп
ределяются либо из астрономических
('
\..- наблюдений (долготы по разности времени), либо из геодезических вычислений. В первом случае они
называются географическими (аст ронолщчески..•,щ), во втором - геоде
|
|
|
шчески.ttщ. Это |
ра;щеленне rюяви |
||||
|
|
|
лосh Rте времена, когда Землю еще |
|||||
|
|
|
считапи tШIJIOl\1. Позднее шар был :;;: |
|||||
|
|
|
менен эллипсоидом вращения, то•t |
|||||
|
|
|
ности |
3ClpOHO?\.Hll.fCCIO·fX |
Н rеодеЗН· |
|||
|
|
|
'IеСЮ!~ определений псвысилис.ь, по |
|||||
|
|
|
ЛВJ-t_;пtсь р:ззличня меЖliУ их :таченн ·· |
|||||
|
|
QJп.neд"""~'i·'J·!~"·1· - ' j .... f'"'\"... П...."'t)··•··J. ,. (~ |
ЯI\Ш, |
однако |
тep1\tiOI ''геогр!1фи· |
|||
)'IC. |
- . |
ческие i<.ооrднmп1,,·· |
осталс}) з::; обе |
|||||
f.. t |
1 |
}-'"' \.,.• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hl\Hi |
систе~1ами. Г~одслРtескш1 сис |
||||
|
|
|
теr..tа коорлинат удобна для решен11н |
|||||
|
|
|
i!3Y'!t-Jыx задач |
высшей |
геоле~щн |
|||
|
|
|
Кроме тего, |
в |
этой |
системе ны |
||
:н1с1лются все пункты ЭС?"рономо--п:оде-нР!ескоi1 сети, распространен·-
2. ПЕРЕХОД ОТ РЕАЛЬНОЙ (ФИЗИЧЕСКОЙ) ЗЕМНОЙ fiOBEPXHOCTИ К ПОВЕРХНОСТИ ЭЛЛИПСОИДА
2.1. Связь астрономических долгот u широт с геодезическими.
Астр<mомические долготы и широты, обозн~чаемые соответственно
буквамн tp и ~. как уже 6ыло сказано, получюотся нэ nрямых полевых н~fiлюдений небесн~х светил, а геодезические обозначаются буквами
R и 1. и связаны с размерами и ориентиrюванием конкретного рефе-
~ 13 -
ре1Щ-эллипсоида в теле Земли и могуr быть только вычислены.
Началом координат в геодезической системе (на рефереiЩ-эллипсои
де) служит точка ориенrироваиия эллипсоида с известными астроно мическими координатами (у нас в стране - ~ сигнал "А'', т.е. центр Пулковекай обсерватории).
Геодезические координаты относятся к нормали к поверхности
эллипсоида, а географические -к отвесной линии, т.е. нормали к уровенной поверхности, или к rеоиду. Уrол между отвесной линией и
нормалью к поверхности эллиnсоИда называется уклонением отвесной
линии, оно составляет от 2-3..до 30-40" и более в аномальных райо~
н
нах. Уrол в 1 на поверхности Земли соответствует дуге в 30 м. Это
значит, что ошибка достигает tOO м и более. Поэтому для перехода
от астрономических широт и долrот к геодезическим необходимо оп
ределять в раэНhlх пункта.х Земли уклонения отвесных линий и учиты~
вать их nри расчетах.
2.2. Редуцирование результаmfНI измерений но поверхность эл липсоида. Для матемашческой обработки геодезических измерений необходимо перейти с реальной земной поверхности на референц-эл липсоид. Межцу тем расхождение поверхности rеоида и тем более физической поверхности Земли с поверхностью эмипсоида достигает многих метров. Поэтому необходимо результаты натурных измерений проектировать (редуцировать) на поверхность референц-эJVJипсоида nyreм введения соответствующих поправок за переход от одной по
верхности к другой.
Необходимо выбрать некоторую поверхность относи.мости.Ею мо
жет быть уже упомянуrый референц-эллипсоид или сфера, или даже
плоскость, если кокrур, аыделенный на ней, не превышает nлощци,
окаймленной окружностью радиусом не более 10 км.
Редуцир()Вание натурных измерений на поверхность относимости
nриводит к тому, что искажаются длины линий (рис. 4): D- длина
линии, непосредственно измеренная в натуре; 0 0 - горизонтальное
проло:жение; S - длина той же линии на поверхности эллиnсоида, ко
торую нужно определить. Задачу решим 1два этапа. Сначала най дем D . Приближенно 0 0 = D - (Н1- Н,) /(20) .
- 14 -
Но удобнее решить ее через угол наклона "V, так как он может быть
измерен непосредственно в натуре.
Рис. 4. Редуuирование линии
на nоверхность относимости.
|
|
с |
-1-Х |
||
|
|
|
|||
сз |
~· |
|
св |
||
|
|
|
+х |
||
|
+Х |
~ |
|
||
|
|
|
|
|
|
3 t(-v |
-у |
~~ |
|
+у. |
|
|
ось |
|
opiJuнam + |
в |
|
|
|
|
|
||
|
--.х |
е |
|
-.т |
|
|
|
|
|
|
|
-!1 |
~ |
+~ |
|
||
|
|
||||
|
|
|
-х |
||
fDЗ |
ю |
|
юв |
||
|
|
|
|
|
|
Рис.5. Оси nрямоугольной |
|||||
системы :координат с обоз~ начением знаков абсцисс и
ординат и назвапия чет
вертей.
Тогда D"= Dcos'/ = D(l - 2sin2~.
Отсюда получаем Do = D - 2Dsirf~,
или D - Do= 2D sina~ .
~
поправка
Эта nоправка достаточно велика и учитывается всегда. Теперь най
дем S: S = D0 - (Нс.р D0 )/R .
Эта поправка невелика. Например, nри длине линии 6400 м на высоте l000 м над поверхностью эллиnсоида
она будет рзвна 1 м. Отсюда nолу
чаем, что для длины линии в 600 м на высоте 100 м поправка всего 1 см.
3. ПЛОСКИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ
КООРДИНАТЫ
Географические астрономические
и геодезические координатные систе
мы трудно применять на nрактике для
обоснования съемочных и инженерных
работ. Ошибка их оnределения оста
ется довольно большой. При опреде-
•
лении широты она составляет в луrо-
" .
вой мере О, 1-0,2 ; при оnределении
долrоты 0,3-0,511, что в линейной
мере равно соответственно 3-6 м и
5-10 м.
Поэтому в практику rеодези-
- 15 -
ческих и топографических работ была введена система ruюских пря моуrольных координат (рис. 5). По суrи дела, это известные декар
товы координаты, правда в геодезии принята правая система коор
динат - оси Х и У поменялись местами.
Особенность прямоугольных координат заключается в том, что они могут быть наложены на плоское изображение земной поверх··
ности. Для этого она должна быть изображена в искоторой картогра
фической nроекции.
4. ОБIЦИЕ ПОНЯТИЯ О КАРТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЯХ
Известно, что поверхность шара или эллипсоида нельзя развер
нуть в плоскость без сжатий, растяжений или разрывов. Однако возможен выбор различных правил перехода к плоскости, т.е. пост роение изображения в разных картографических проекциях. Математи ческая основа картографических проекций позволяет производить на
картах точные измерения. однако для этого нужно знать закон расп
ределения искажений каждой проекции.
Картографические проекции различаются по разнообразным приз-
накам, прежде всего по характеру сохраняемых свойств и по виду
нормальной сетки меридианов и nараллелей. По первому nризнаку
nроекции делятся на следующие: -pd~e.;!~te.t.{(.tЦ e~f'"+'-'..t.t,t,Щ•Lt
-равноугольные (или конформные) проекции сохраняют углы и, lt.t,ti,иf'CёfPw,
следовательно, формы контуров, но сильно искажают соотношение /
размеров (например проекция Меркатора);
- проекции, сохраняющие длины линий в некоторых направлениях
или во всех наnраЧ.лениях из одной какой-нибудь точки;
~ производные проекции, не сохраняющие полностью никаких
свойств, но более или менее удобны для потребителя карты распре деляющие искажения по всему изображению.
По виду нормальной сетки меридианов и лараллелей проекции nодразделяются на следующие основные виды (рис. 6).
В нормальной конической проекции меридианы изображаются nря
мыми линиями, сходящимися в одной точке. Параллели-дуги кон
центрических окружностей, цекrр которых находится в точке схода меридианов. Радиусы параллелей зависят от условий: равноуrоль
ности или равновеликости.
-16 -
Внормальной цилиндриttеской проекции меридианы и параллели
изображаются взаимно перпеНдикулярными прямы:ми линиями. По
свойствам изображения они мoryr быть равноугольными, равновелики
ми и производными.
а
Рис. 6. Проекции: коническая (а), цилиндри ческая (б), азимутальная (в), nсемоцилинд
рическая (J), nоликоническая (е), nсеацоази-
муrальная U&,~~U.U~.я. ~О),
В азимутальной проекции мерилианы изо бражаются прямыми линиями, пересекающи мися в одной точке. Параллели -: концентри
ческие окружности с центром в точке пересечения меридианов. При меняют~я для тef)plf'I'OPИЙ округлой формы и карт мелких масштабов.
На псеttдоцилиндрuJ~еских npoei(ЦURX nараллели изображаются пря-
мыми линиями. Мерилианъtкривые: синусоиды или эллипсы. Применя ются nри создании,карт океанов или всей Земли мелкого масштаба.
- 17 -
На псевдоконических проекциях nараллели изображаются дугами
конuешрических окружностей. Меридианы - кривые, симметричные от носительно осевого меридиана. Применялись ранее для карт отдель
ных государств; теперь используют~я для показа поверхности всей
Земли и друrих планет.
На поликонической проекции nараллели изображаются дугами
эксцеНТJ)ических окружностей, центры которых находятся на осевом
прямолинейном меридиане. Меридианы - кривые, симметричные относи
тельно осевого nрямолинейного меридиана. Проекция применяется для
создания карт Мира.
На псевдоазимутальных проекциях параллели изображаются кон-
центричесюrми окружностями. Меридианы - кривые, за исключением
двух взаимно перпендикулярных , которые служат осями симметрии.
Круговые проекции имеют параллели и меридианы, изображаемые
окружностями или дугами окружностей.
Производные npoef(цuu полу .аются различными видоизменениями
' ~
имеющихся проекции.
В геодезии и топографии применяется проекция Гаусса-Крюгера
-это такое конформное (равноугольное) изображение поверхности
земного эллипсоида на nлоскости,. при котором осевой меридиан
изображается nрямой линией с сохранением масштаба, экватортак
же прямой, перnеJЩикулярной осевому меридиану, а все остальные
меридианы и параллели - кривые линии. Проек.цию Гаусса-Крюгера не
редко истолковывают, как nоnеречную цилиiЩрическую равноугольную
проекцию (Меркатора), но, стро,rо говоря, это неточно.
5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОЕКЦИИ ГАУССА-КРЮГЕРА
ВГЕОДЕЗИИ
Влюбой проекции изображение получается тем более искаженным
чем больше картоrрафируемая территория. Поэтому прямоугольная
система координат !"'е может быть расnространена на б(шьшую терри торию. Приходится решать задачу по частям.
Для этого земной шар лроецируется на плоскость no частям, ло
зонам. Каждая такая зона представляет собой двугранник~
ограниченный меридианами через 6° по долготе. Таким образом, как
· 2о Зак. 247
-18 -
это rюказано на рис.7, получается, что вся поверхность Земли
разбивается на 60 зон, считая от начальногоГринвического
|
|
|
|
|
|
о |
). |
Через каждую |
||
|
|
|
|
|
меридиана (0 |
|||||
|
|
|
|
|
зону от |
Северного полюса до |
||||
с |
|
с |
Южного проходит прямолинейный |
|||||||
|
осевой меридиан зон. |
Долгота |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
осевого |
меридиана n-й |
зt>ны |
|||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равна (6n -3) . Нумерация зон |
|||||
|
|
|
|
|
идет с заnада |
на восток, на |
||||
|
|
|
|
|
чиная от Гринвического мери |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ЗкиrоР |
диана. |
Территория |
России |
||||
|
|
|
|
|
располагается |
примерно |
в 29 |
|||
|
|
|
|
|
зонах: от 3 до 32. В nределах |
|||||
|
|
|
|
|
каждой |
зоны |
плоская коорди |
|||
|
|
|
|
|
натная система |
располагается |
||||
ю |
ю |
ю |
самостоятельно. |
Оси |
Х |
и У |
||||
1 зона |
г зона |
з зона и тд. |
размещаются по осевому |
мери |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
Рис. 7. Деление nоверхности |
диану зоны и экватору. Начало |
|||||||||
Земли на зоны. |
отсчета координат в |
их |
пе |
|||||||
|
|
|
|
|
ресечении. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
территория |
|
|||
России расположена в Северном полушарии, то .все значения Х всегда
будуr nоложительными. Сложнее получается со значениями координаты
У, которая .в |
каждой · зоне может |
быть и положительной и |
отрицательной. |
Чтобы избежать этих |
неудобств, начало отсчета |
ординат искусственно сдвигают на заnад на 500 к.м (рис. 8).Другими
словами, к значению У nрибавляют 500 км. Ширина nолузоны по
долготе составляет всего 3°, т.е. около 333 км. Поэтому все
значения У станут положительными. Поскольку в каждой зоне координаты могут совпадать, в значении У указывается также номер
зоны. Например, если координаты точки даны в следующем виде:
Х=б 650 457, У=4 307 128, то это значит, что точка расположена от экватора на расстоянии 6 650 457 м; в значении координаты У цифра
4 означает номер зоны, а от остального следует отнять 500 000 м,
тогда nолучим расстоянИе нашей точки от осевого меридиана, а
именно - 192 872 м. Такие координаты называются преобразованными.
Для удобства пользован11я nлоскими координатами каждую зону nокры-
- 19 -
вают сеткой квадратов, так называемой километровой сеткой (сто рона квадрата равна 1 км), которая изображается на топоrрафи
ческих :карrах.
Такая зональная система коорди-
наr, npиwrraя |
в :качестsе |
rосу |
|
|
дарствеШiой, обесnечиsает возможНость |
|
|||
nостроения на |
территории |
всей ЗеМJiи |
|
|
системы плоских прямоуrольных коорди |
|
|||
нат и позволяет получать практически |
|
|||
без искажений довольно больших участ4 |
ЭI(/JaTOP |
|||
ков земной поверхности. |
о |
|||
|
||||
6. ИСКАЖЕНИЯ ПРИ ИЗОБРАЖЕНИИ ПОВЕРХНОСТИ ЭЛЛИПСОИДА НА
ПЛОСКОСТИ· В ПРОЕkЦИИ ГАУССА-КРЮГЕРА
6.1. И с к а ж е н и я в д л и |
Рис. 8. Определение |
н а х л и н и й. На чертеже ( рис.9) |
плоских координат в зоне |
показав nорядок искажения размеров
окружности в различных точках зоны.
Обозначим: D - длина отрезка прямой
аЬ в проекции Гаусса-Крюгера, S -длина того же отре~ка на по верхности эллипсоида. Из чертежа следует, что D/S= 1+Y2/(2R2), где
У - полусумма ординат концов отрезка прямой (ордината середины
отрезка), R- радиус Земли. Можно также написать
D - S = AS = (У1 S) /(~R2 ); |
AS/S= Y1/(2R2 ), |
где .AS- величина искажения длин линий,АS/S- значение искажения в относительной мере. На краях зоны в южных широтах оно составляет
около 1:800. а в северных широтах примерно 1: 16 000..
6.2. Тоnограф и., е с к и ii nлан. В геодезии изучаются небольшие участки земной поверхности, которые можно счи-
тать nлоскими, а отвесные линии - параллелъными между собой и
совпадающими с нормалями к nоверхности эллипсоида. Съемки, выnол
ненные на таких территориях в масштабах от 1:500 до 1:5 000, не
- 20-
учитывают кривизны земной поверхности. Следует знать, как велик
радиус такого участка земной поверхности, который можно принимать
Рис. 9. Искажение длин и разме-
ров на nлоскости в лроекции
Гаусса-Крюгера
о
Рис. 10. Искажение длины
л и шш и изменение выссrrы
1очки при переходе от сфе
рнчrской nоверхннсти к гo ptiJOttТaл ыюii.
за плоскость.
Представим участок земной
поверхности в виде части поверхности
сферы радиусом R, который заменя-
ется частью горизонтальной плоскос
ти. Из рис. 10 видно, что с удалением
от точки т разница 4S в длине дуги
s и ее проекции на плоскость S1
возрастает, а расстояние между ними
{высота точки местности) .4h увеличи
вается. Из данных рис.l О получаем
S1 = R tgtp; S:::: Rtp;
AS=S1-S=R(tgcp -tp).
Сделав ряд преобразований, заnишем AS = S3/(ЗRг ). Можно также
определить значение 4 h, учитывая
малость А h относительно R и близостъSиS,'
Ah = S2/(2R).
Из расчетов щ> nолученным формулам nолучается, что при длине линии 10 км
AS составляет только 1:1 000 000
ее длины. Поэтому считается, что
участок радиусом lО км можно принять
за плоский при съемке планов без рельефа. При nоиижеиных требованиях
к точности линейных измерений его площадь может быть увеличена.
Значительно быстрее возрастают
расхождения между высотами
точек на сфере и на плоскости. При
той же длине линии 10 км разность высот достигает уже 7,8 м. Поэтому
значение Ah nри,ходится учитывать
даже при малых расстояниях.