teorija_mehanizmov_i_mashin_belanov_savenkov

32

Розв’язання. 1) Визначаємо швидкість точки В1 куліси 1, яка в цю мить співпадає з точкою В каменя 2:

хВ1 = щ1lO1В = щ1 (О1В)мl , м/с.

2)вибравши відрізок (Pvb1 ) (мм), який відображає вектор хrВ1 , вирахуємо

у вигляді числа з кратністю 1, 2, 5.

3)Із полюса плану швидкостей Рv, перпендикулярно (О1А) в сторону обертання куліси відкладаємо відрізок довжиною (Pvb1 ).

4)Для визначення абсолютної швидкості точки В2 каменю будемо мати на увазі, що абсолютний рух повзуна 2 розглядається як сума переносного руху разом з рухомою напрямною 1 (кулісою) і відносного руху вздовж куліси. Тоді

для абсолютної швидкості точки В2 каменю запишемо наступне рівняння (за теоремою 2):

швидкість точки В куліси, яка розглядається як переносна по відношенню до каменю 2; хrВ2 В1 - поступальна швидкість каменю 2 (точки В2) відносно куліси 1

(точка В1).

Модулі вектора швидкості:

хВ2 = хВ3 = (Рvb2 )мv ; хB2 В1 = (b1b2 )мv .

Кутова швидкість ланки 3 (кривошипу):

щ3 = lхОВ22В .

Приклад 3. Відомо: lО1А ; lО2В ; ω1 = const. Визначити швидкості характерних точок ланок і кутову швидкість ланки 3 (рис. 2.10).

33

Рисунок 2.10 – План положення кулісного механізму з коливальною кулісою і план швидкостей

Розв’язання. 1) Визначаємо швидкість точки А, відносячи її до ланки 1 (кривошипу):

хА1 = щ1lO1 А = щ1 (О1 А)мl , м/с.

2)Із полюса плану швидкостей Рv відкладаємо відрізок (Pv а1 ),

перпендикулярно (О1А) в сторону обертання (рис. 2.6, б) і визначаємо масштабний коефіцієнт швидкостей:

3) З другої сторони рух точки А можна розглядати як такий, що складається з двох рухів: переносного разом з ланкою 3 і відносного по відношенню до ланки 3. Тоді маємо:

34

розв’язуємо графічно рівняння (2.5). Для цього через кінець а1 проводимо пряму лінію паралельно (О2В), а через полюс Рv – пряму лінію

Рисунок 2.11 – План положення синусного механізму і план швидкостей

Розв’язання. 1) Визначаємо швидкість точки А1 кривошипу:

хА1 = хА2 = щ1lOА = щ1 (ОА)мl , м/с.

2)Абсолютна швидкість каменя:

перпендикулярно ОА, який відображає швидкість точки А1 кривошипу і вираховуємо масштабний коефіцієнт швидкостей:

35

Далі розглядаючи рух каменю 2, як складний, можемо представити його як переносний разом з ланкою 3 і відносний рух каменя 2 відносно ланки

3. Тоді із полюсу Рv проводимо пряму лінію, паралельно DB , а із кінця вектора хА1 (точка а1) проводимо пряму лінію, паралельну CD. В перетині цих прямих

одержуємо точку а3. Переносна швидкість каменю:

хА3 = (Рv а3 )мv .

Швидкість каменю у відносному русі

хА2 А3 = (а1а3 )мv .

Приклад 5. Відомо: lОА ; lОВ ; ω1 = const. Визначити швидкості характерних точок механізму та кутову швидкість ланки 2 (рис. 2.12).

Рисунок 2.12 – Кулісний механізм з коливальною кулісою та каменем і план швидкостей

Розв’язання. 1) Визначаємо абсолютну швидкість точки А1 кривошипу:

хА1 = щ1lOА = щ1 (ОА)мl , м/с.

2)Приймаємо Рvа1 = 60 мм, вираховуємо масштабний коефіцієнт плану

швидкостей

36

3) Складаємо векторні рівняння для визначення швидкостей:

При цьому хВ3 = 0 . Тоді

4) Будуємо план швидкостей за векторним рівнянням (рис. 2.12, б) і знаходимо ω2:

щ2 = хl В2 А .

АВ2

§2.2.4. Властивості плану швидкостей

1.Вектори, які виходять із полюсу Рv плану швидкостей, зображають собою

вмасштабі мv абсолютні швидкості відповідних точок механізму;

Рv.

3.Незмінній фігурі на плані механізму – ланці, відповідає фігура на плані швидкостей подібна і схоже розташована.

4.По плану швидкостей можна визначити:

а) швидкість будь-якої точки механізму, з’єднавши полюс із зображенням цієї точки на плані швидкостей; б) кутову швидкість будь-якої ланки, скориставшись виразом

лінійної швидкості точки ланки в обертальному русі; в) напрямок дотичної і нормалі до траєкторії будь-якої точки

механізму, враховуючи, що вектор абсолютної швидкості направлений по дотичній до траєкторії руху точки.

37

§ 2.3. Визначення лінійних прискорень точок і кутових прискорень ланок плоских механізмів методом планів

Поступальний рух – лінійні прискорення всіх точок однакові (повзун), а їх вектори паралельні й направлені в одну сторону. Лінія дії вектора прискорення повзуна паралельна напрямним, в яких повзун рухається. Кутове прискорення ланки, яка рухається поступально, дорівнює нулю.

Обертальний рух зазнають кривошип, коромисло та куліса. Для кривошипу (рис. 2.13) абсолютне прискорення точки В дорівнює геометричній

сумі нормального arBn і дотичного arBф прискорень:

arB = arBn + arBф.

Модулі цих векторів визначають за формулами:

Рисунок 2.13 – До визначення абсолютного прискорення точок ланки у разі обертального руху

Складний плоский рух

Теорема 3. Абсолютні прискорення точки аа в складному русі дорівнює

aa = ae + ar + ak ;

ark = 2(щre ×хrr )

38

де щe - кутова швидкість переносного руху; хr - відносна лінійна швидкість. У разі, коли відносний рух обертальний, прискорення ar , в свою чергу,

складається із двох прискорень: нормального an = щ2 r , направленого вздовж

радіуса до центру обертання, і дотичного aф, направленого перпендикулярно до радіусу. Таким чином

ara = are +(arn +arф)+ark

У разі, коли переносний рух поступальний, ак = 0.

§ 2.3.1. Приклади побудови планів прискорень плоских механізмів

Приклад 1. Знайти прискорення характерних точок і кутове прискорення другої ланки механізму (рис. 2.14).

Рисунок 2.14 – План положення кривошипно-повзункового механізму і план прискорень

Вихідними даними для побудови плану прискорень механізму є побудований план швидкостей.

Розв’язання: 1) Побудову плану прискорень починаємо з визначення прискорення точки А кривошипу. Кривошип виконує обертальний рух, через це

39

arА = аrAn +arAф

Модулі векторів прискорень точки А:

Оскільки кривошип обертається рівномірно е1 = 0 і aAф = 0 . Отже, aA = aAn = щ12lOA м/с2.

Вектор нормального прискорення направлений по радіусу до вісі обертання, тобто від А до О.

2) Вибравши відрізок (Раа), мм, який зображає прискорення точки А (в межах 50…100 мм), підрахуємо масштабний коефіцієнт прискорень:

При цьому ма повинно бути числом, зручним для рахування (бути кратним 2, 4,

5).

3) Визначаємо прискорення точки В, яка належить до ланки 2. Ланка 2 виконує складний плоский рух. Через це для визначення прискорення точки В розглянемо абсолютний рух ланки 2 як суму переносного поступального разом з полюсом і відносного обертального навколо вісі, яка проходить через полюс. Отже, спираючись на теорему 3, робимо висновок, що абсолютне прискорення будь-якої точки цієї ланки може бути представлено як геометрична сума прискорень полюсу та прискоренню цієї точки в обертальному русі навколо вісі, яка проходить через полюс. Прийнявши за полюс точку А, прискорення якої відоме, маємо

arВ = аrA +arВA

У цьому рівнянні коріолісове прискорення відсутнє, оскільки переносний рух поступальний, і, отже, кутова швидкість ще переносного руху

ланки дорівнює нулю. Оскільки вектор прискорення точки В arВA у відносному

обертальному русі ланки може бути розкладеним на нормальне і тангенціальне прискорення, то остаточно одержимо:

Вектор нормального прискорення має модуль:

40

і направлений по прямій АВ від точки В до центру відносного обертання – точці А. Вектор тангенціального прискорення аrВфA перпендикулярний до прямої АВ. Лінія дії вектору аrВ , відома – паралельна напрямній «х-х» повзуну 3. У рівнянні (2.7) двома рисками підкреслені прискорення, відомі за модулем і напрямком, а однією рискою – коли відома тільки лінія дії.

Графічний метод розв’язання векторного рівняння (2.7) дає можливість визначити шуканий вектор абсолютного прискорення точки В.

Звернемося до будованого плану прискорень і векторного рівняння. Відрізок (Раа) представляє собою перший доданок векторного рівняння –

проводиться лінія дії вектора arВ паралельно напрямній «х-х» повзуна 3. На перетині ліній дій arВфA і arВ , знаходять шукану точку b; відрізок (Раb) зображає

вектор arВ .

Модулі знайдених векторів:

aB = (Pab)мa ;

aBAф = (nb)мa .

4) Визначаємо прискорення точки С ланки 2. Для цього представимо складний рух ланки 2 як суму двох простих: поступального з прискоренням arВ і обертального навколо вісі, яка проходить через точку В, а також поступального з прискоренням arА і обертального навколо вісі, яка проходить через точку А, тоді

або

arA = arCAn +arCA = arB +arCBn +arCBф ,