Полиномиальная и линейная аппроксимация

Наиболее широко метод наименьших квадратов используется для полиномиальной аппроксимации функции, когда

, (5.2.10)

и приближение ищется в виде алгебраического многочлена

. (5.2.11)

Система (5.2.8) для этого случая примет вид

. (5.2.12)

Разделив обе части каждого уравнения системы (5.2.12) на N, получим систему

(5.2.13)

Эта система является плохо обусловленной, то есть относительная погрешность ее решения, связанная с неточным заданием исходных данных и округлениями, быстро растет с ростом n. На практике эту систему применяют при небольших значениях n, от 1 до 6.

Чаще всего полиномиальная аппроксимация по методу наименьших квадратов применяется при . В этом случае приближение ищется в виде линейной функциии говорят олинейной аппроксимации функции. Переобозначим коэффициенты линейной функции, как это обычно принято:

. (5.2.14)

Запишем систему (5.2.13) с учетом этих обозначений

(5.2.15)

Введем обозначения

, ,,

. (5.2.16)

Перепишем с учетом этих обозначений систему (5.2.15):

(5.2.17)

Система (5.2.17) будет иметь единственное решение, если определитель матрицы системы не равен нулю, то есть, если

. (5.2.18)

Получаем это решение, умножая первое уравнение системы (5.2.17) на и вычитая его из второго уравнения:

(5.2.19)

Подставляя эти значения параметров в (5.2.14), получаем наилучшее линейное среднеквадратическое приближение

.

Это приближение является наилучшим в смысле меры близости и:

. (5.2.20)

Поиск наилучшего среднеквадратического приближения в некоторых двухпараметрических семействах нелинейных функций

Метод наименьших квадратов широко используется при обработке экспериментальных данных, когда требуется подобрать зависимость , описывающую неточно заданные табличные экспериментальные данные. На практике нередко приходится подбирать не только линейные, но и нелинейные зависимости. Чаще всего ищутся зависимости следующих видов:

1) , 2), 3),

4) , 5), 6).

Каждая из этих формул определяет двухпараметрическое семейство нелинейных функций с параметрами a и b. Будем использовать метод наименьших квадратов для подбора наилучшего приближения в каждом из этих семейств. Вначале, путем замены переменных, нелинейные функции превратим в линейные, а затем используем стандартную схему поиска наилучшего приближения в семействе линейных функций по методу наименьших квадратов.

Рассмотрим подробно описанную идею на примере первого параметрического семейства. Введем новые переменные X и Y таким образом, чтобы после замены переменных функция превращалась в линейную функцию:

(5.2.21)

В результате этой замены переменных первая формула примет вид

. (5.2.22)

На основании известных табличных данных и() по формулам (5.2.21) найдем новые табличные данныеидля новой линейной зависимости (5.2.22):

, . (5.2.23)

По полученной новой таблице методом наименьших квадратов подберем коэффициенты,наилучшего линейного приближения:

, ,,

. (5.2.24)

(5.2.25)

и само наилучшее линейное приближение

. (5.2.26)

А в качестве искомого нелинейного приближения выберем соответствующее приближение в первом параметрическом семействе функций

. (5.2.27)

Это приближение будет наилучшим в смысле нестандартной меры близости между и

. (5.2.28)

В остальных семействах приближенные зависимости подбираются аналогично. Рассмотрим замены переменных, с помощью которых эти нелинейные зависимости превращаются в линейные.

Чтобы подобрать замены переменных для второй функции, преобразуем вторую формулу:

.

Отсюда

.

Теперь становятся очевидными замены переменных:

(5.2.29)

В результате этой замены мы получим линейную зависимость

.

Для третьей функции замены переменных очевидны:

(5.2.30)

В результате этих замен переменных получим линейную зависимость

.

Чтобы подобрать замены переменных для четвертой функции, прологарифмируем четвертое уравнение:

.

Теперь становятся ясными замены переменных:

(5.2.31)

В результате этих замен получим линейную зависимость

.

Для подбора замен переменных для пятой функции прологарифмируем пятое уравнение:

.

Теперь становятся ясными замены переменных:

(5.2.32)

В результате этих замен получим линейную зависимость

.

Для шестой функции замены переменных очевидны:

(5.2.33)

В результате этих замен получим линейную зависимость

.

Иногда приходится производить сравнение качества приближений из разных параметрических семейств. Для этого выбирают единую меру близости между и. Пусть - любая параметрическая формула, задающая некоторое двухпараметрическое семейство функций, в котором найдено наилучшее среднеквадратическое приближение описанным способом. В качестве единой меры близости между иможно использовать

. (5.2.34)

Она представляет собой сумму квадратов расстояний по вертикали между табличными точками и графиком функции . То из приближений, для которого единая мера близости будет меньше, можно считать лучшим в смысле выбранной меры близости.