Тригонометрический ряд Фурье. Наилучшее среднеквадратическое приближение тригонометрическими многочленами

Тригонометрическая система состоит из функций

(5.1.24)

Тригонометрическая система функций является ортогональной в пространстве , но не является нормированной. В самом деле, легко проверить, что

при ;

при ;

; ;;

; ;.

Кроме того, тригонометрическая система функций является замкнутой в пространстве .

Ряд Фурье по тригонометрической системе принято записывать в виде

, (5.1.25)

а коэффициенты ряда вычисляются по формулам

(5.1.26)

Таким образом, наилучшим среднеквадратическим приближением функции в семействе тригонометрических многочленов вида

(5.1.27)

(здесь и  произвольные вещественные постоянные коэффициенты) является частичная сумма тригонометрического ряда Фурье

. (5.1.28)

Из замкнутости тригонометрической системы следует, что погрешность этих приближений, стремится к нулю при.

Рассмотрим некоторые свойства полученных приближений функции тригонометрическими многочленами. Сходимость ряда (5.1.25) к функции по норме пространстване означает, что ряд (5.1.25) будет сходиться к функциив каждой точке отрезка. Приведем без доказательства условия поточечной сходимости ряда Фурье к порождающей его функции.

Теорема 2. Если функция кусочно-непрерывна на отрезкеи периодична с периодом, то во всех точкахx, где функция непрерывна, сумма ряда Фурье (5.1.25) будет совпадать с функцией. В тех точках, где функциятерпит разрыв первого рода, сумма ряда Фурье (5.1.25) будет равна.

В проколотой окрестности точек разрыва первого рода функции сходимость частичных сумм тригонометрического ряда Фурьек функцииприявляется неравномерной. Если, например, функцияимеет период 2 и на периоде задана формулой

Рис.

то , в то время как(явление Гиббса). Чтобы понять это явление полезно посмотреть, как ведут себя графики частичных сумм тригонометрического ряда Фурье для этого случая с ростомn. На рисунке изображены графики при,и(сверху вниз). Из рисунка видно, что в проколотой окрестности точки разрыва () на графиках возникают гребни и провалы, высота которых с ростомn не стремится к нулю (а стремится к 0,09). Эти гребни и провалы с ростом n сужаются и смещаются к точке разрыва. Поэтому при любом фиксированном значении n существуют точки x в окрестности точки разрыва, в которых функция отличается отна величину, не меньшую 0,09. В самой же точке разрывапри любомn, в то время как .

Осталось заметить, что если функция является четной, то все интегралы (5.1.26) с синусами обратятся в 0 (как интегралы от нечетных функций с симметричными пределами интегрирования) и ряд Фурье примет вид

. (5.1.29)

В этом случае говорят, что функция разлагается по косинусам.

А если функция является нечетной, то все интегралы (5.1.26) с косинусами обратятся в 0 (как интегралы от нечетных функций с симметричными пределами интегрирования) и ряд Фурье примет вид

. (5.1.30)

В этом случае говорят, что функция разлагается по синусам.

Ортогональные многочлены Лежандра. Ряд Фурье по системе многочленов Лежандра. Наилучшее среднеквадратическое приближение многочленами Лежандра

Помимо тригонометрической системы для разложения функций в ряд Фурье и построения приближений часто используются системы ортогональных многочленов Лежандра, Чебышева, Лагерра и Эрмита. Рассмотрим систему многочленов Лежандра и построим наилучшее среднеквадратическое приближение с их помощью.

Многочлены Лежандра обычно задаются формулой

(5.1.31)

Формула (5.1.31) получила название формулы Родрига. Так, ,,,и так далее.

Помимо формулы Родрига, многочлены Лежандра можно задавать и с помощью рекуррентной формулы

. (5.1.32)

Можно показать, что все корни многочленов Лежандра действительны и расположены на отрезке .

Можно доказать, что многочлены Лежандра образуют замкнутую ортогональную систему в пространстве и справедливо равенство

(5.1.33)

По формуле (5.1.33) определяются и квадраты норм этих многочленов. Ряд Фурье для функции по системе многочленов Лежандра имеет вид

, (5.1.34)

где

(5.1.35)

Наилучшим среднеквадратическим приближением функции в семействе многочленов вида

(5.1.36)

(здесь  произвольные вещественные постоянные коэффициенты) является частичная сумма ряда Фурье по системе многочленов Лежандра

. (5.1.37)

Из замкнутости системы многочленов Лежандра следует, что погрешность этих приближений

стремится к нулю при .