Пространство rn[a;b]

Пусть на отрезке введена сетка точек. Будем рассматривать множество сеточных функцийf, определенных только на сетке и полностью заданных своими значениями в узлах сетки:. По существу, сеточные функции можно интерпретировать и как векторы. Поэтому они образуют линейное пространство, изоморфное пространству, где можно ввести скалярное произведение. Введем на множестве сеточных функций скалярное произведение

(5.1.4)

и получим евклидово пространство сеточных функций, которое в дальнейшем будем обозначать .

Норма (величина элемента, длина вектора) и метрика (мера близости между элементами) в пространстве вводятся обычным образом:

, (5.1.5)

. (5.1.6)

Таким образом, с учетом введенных операций (5.1.5)  (5.1.6) евклидово пространство сеточных функций превращается в нормированное метрическое пространство.

Если приближение для функции строится в пространстве или в пространстве, то его принято называть среднеквадратическим, или среднеквадратичным.

Ортогональные системы функций и ряды Фурье в пространстве l2. Наилучшее приближение частичными суммами ряда Фурье

Пусть имеется некоторое евклидово пространство со скалярным произведением.

Функции f и g, принадлежащие евклидову пространству, называются ортогональными, если

. (5.1.7)

Система функций называетсяортогональной, если все функции системы попарно ортогональны, то есть

при . (5.1.8)

Система функций называетсяортонормированной, если она ортогональна и нормирована. Последнее означает, что

. (5.1.9)

Из всякой ортогональной системы можно получить ортонормированную системупо формуле

. (5.1.10)

Пусть в евклидовом пространстве задана некоторая бесконечная ортогональная система функций. Сопоставим каждой функциипоследовательность чисел

. (5.1.11)

Эти числа будем называть коэффициентами ряда Фурье для функции f по системе , а ряд

(5.1.12)

рядом Фурье для функции f по системе . Если система функцийявляется ортонормированной, то коэффициенты ряда Фурье вычисляются по более простой формуле

(5.1.13)

Обозначим через частичную сумму ряда Фурье для функцииf по бесконечной ортогональной системе функций

Если

при ,

то говорят, что ряд Фурье сходится к порождающей его функции f по норме пространства и пишут

(5.1.14)

Пусть  бесконечная ортогональная система функций из . Рассмотрим множество функций, представленных в виде линейной комбинации

, (5.1.15)

где  произвольные вещественные числа. Очевидно, что множество этих функций с введенным на нем скалярным произведением, как и в пространстве , также будет евклидовым подпространством пространства. Будем искать в этом подпространстве наилучшее среднеквадратическое приближение для функцииf. Обозначим его . Функциядолжна удовлетворять условию

(5.1.16)

Теорема 1. Наилучшее среднеквадратичное приближение функцииf на множестве функций представляет собойn-ю частичную сумму ряда Фурье, то есть , причем

Доказательство. Рассмотрим

Здесь была использована ортогональность системы функций и свойства скалярного произведения. Очевидно, что наименьшее значение функция(и, следовательно, функция) будет иметь при условии, что

, , (5.1.17)

то есть, когда совпадает с. Причем это наименьшее значение равно. Следовательно, функцияи

, (5.1.18)

что и требовалось доказать.

Поскольку , из формулы (5.1.16) следует, что

(5.1.19)

Это неравенство выполняется для любого n. Переходя в нем к пределу при мы получим неравенство

, (5.1.20)

которое получило название неравенства Бесселя.

Если для любой функции f из пространства выполняется равенство

, (5.1.21)

то система функций называетсязамкнутой (полной) в пространстве . Равенство (5.1.21) называетсяравенством Парсеваля.

Если система функций является замкнутой, то

(5.1.22)

Это означает, что ряд Фурье для функции f будет сходиться к этой функции по норме в пространстве , то есть

(5.1.23)

В этом случае функцию можно приближать в пространствечастичной суммой ряда Фурьес любой заданной точностью. В самом деле, из определения предела (5.1.22) следует, что для любогонайдется такая частичная сумма ряда Фурье(найдется номерn такой), что будет выполнено неравенство .

Разлагать функции в ряд Фурье можно по любой бесконечной ортогональной замкнутой системе функций в пространстве . Наиболее известной замкнутой системой функций является тригонометрическая система.