III. Самостоятельная работа 6.
1. Выяснить, какими
свойствами обладает отношение
на множествеA,
если
.
IV. Решение некоторых типовых заданий.
1. Выяснить, какими свойствами обладает отношение на множествеA, если .
Решение.
1. Проверим, обладает
ли отношение
свойствами группы рефлексивности.
Множество
содержит три элемента, каждый из которых
находится в отношении
сам с собой, а именно:
Таким образом,
отношение
обладает свойством рефлексивности, и
поэтому не может обладать свойством
антирефлексивности.
2. Проверим, обладает
ли отношение
свойствами группы симметричности.
Для каждой пары
элементов, принадлежащей множеству
,
должно выполняться условие: если пара
,
то пара
.
Имеем:
Таким образом,
отношение
обладает свойством симметричности, и
поэтому не может обладать свойствами
асимметричности или антисимметричности.
3. Проверим, обладает
ли отношение
свойством транзитивности.
Для каждых 2х пар
элементов, принадлежащих множеству
,
должно выполняться условие: если пары
,
то пара
.
Имеем:
и
;
и
;
и
;
и
;
и
;
и
.
Кроме того, все пары с одинаковыми элементами (например, (2,2)) очевидно, обладают свойством транзитивности по отношению к самим себе.
Таким образом,
отношение
обладает свойством транзитивности.
4. Отношение
обладает свойствами рефлексивности,
симметричности и транзитивности,
следовательно, является отношением
эквивалентности.
2. На множестве людей рассмотрим отношение "быть одинакового роста". Является ли оно отношением эквивалентности? Если да, то что служит классом эквивалентности?
Решение.
1. Поскольку каждый человек «одинакового роста» сам с собой, то заданное отношение обладает свойством рефлексивности.
2. Если человек А одинакового роста с человеком Б, то всегда человек Б одинакового роста с человеком А. Таким образом, заданное отношение обладает свойством симметричности.
3. Если человек А одинакового роста с человеком Б, и человек Б одинакового роста с человеком В, то всегда человек А одинакового роста с человеком В. Таким образом, заданное отношение обладает свойством транзитивности.
4. Отношение "быть одинакового роста" обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, следовательно, является отношением эквивалентности. Классами эквивалентности являются множества людей одинакового роста друг с другом.
7. Итоговое повторение темы 1. Контрольная работа № 1.
Основные вопросы.
1. Что называется объединением, пересечением, разностью, симметрической разностью множеств, дополнением множества?
2. Что такое инъективное, сюръективное, биективное отображение (с примерами)?
3. Что Вы знаете о мощности множества двоичных наборов и о мощности множества всех подмножеств данного множества?
4. Что такое правило произведения (с примером)?
5. Что такое перестановки и что Вы знаете о числе перестановок (с примером)?
6. Что такое сочетания и что Вы знаете о числе сочетаний (с примером)?
7. Что такое размещения и что Вы знаете о числе размещений (с примером)?
8. Что такое перестановки с повторениями и что Вы знаете об их числе (с примером)?
9.Что такое рефлексивное, симметричное, транзитивное отношение, отношение эквивалентности и каково его основное свойство?
10. Что такое отношение нестрогого порядка, строгого порядка?
Контрольная работа.
Вариант 0
1. Вопрос по теории (один из экзаменационных по теме 1).
2. Даны множества A={2,3,c}, B={3,4,c,d}.
Найти
и их мощности.
3. Задано отображение
f
: R
R,
f(x)=2x3+3x.
Определить, является ли отображение
инъективным.Определить, является ли отображение
сюръективным.Определить, является ли отображение
биективным.
4. Найти мощность множества всех двухбуквенных слов, составленных из букв т,а,ч,к,а.
5. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 3,5,6,7,9? А сколько четырехзначных чисел?
6. Имеются буквы А,Б,В,Г,Д и цифры 2,3,4,5. Из них надо составить пароль, в котором три различные буквы и две (не обязательно различные) цифры. Сколько различных паролей можно составить?
7. Сколько различных чисел можно составить, используя все таблички с цифрами 1,1,1,2,2,3,3,3,3 ?
8. Выяснить, является ли отношение Г на множестве A отношением эквивалентности: A={2,3,7}, Г={(2,7), (7,2), (7,7)}.
ЛИТЕРАТУРА