УТВЕРЖДАЮ

Ректор университета         

____________  А.В. Лагерев

    «___»__________2008 г.

М а т е м а т и к а дискретная математика

Методические указания

для самостоятельной работы студентов очной формы обучения

(I семестр)

Брянск 2008

УДК 518

Математика. Дискретная математика: методические указания для самостоятельной работы студентов очной формы обучения (I семестр). - Брянск: БГТУ, 2008. – 35 с.

Разработали: В.М. Кобзев, ст.преп.

Г.Г. Вискина, ст.преп

А.О Алейникова, асс.

К.А. Сенько, асс.

Рекомендовано кафедрой «Высшая математика» БГТУ

(протокол № 1 от 30.08.07)

Содержание

Предисловие…………………………………………………………	4
Глава 1. Разбор типичных задач……………………………………	5
1.1. Элементы теории множеств……………………………..	5
Множества. Операции над множествами……………...	5
Отображения. Инъективные и сюръективные отображения……………………………………….	7
Отношение эквивалентности…………………………...	8
1.2. Элементы теории кодирования………………………….	9
1.3. Элементы теории графов………………………………...	11
Поиск путей в графе…………………………………….	11
Представление графов в памяти компьютера…………	20
Задачи о раскраске графа	31
Глава 2. Вопросы к экзамену ……………………………	32
Список рекомендуемой литературы……………………………….	35

Предисловие

В настоящее время интерес к дискретной математике неуклонно растёт. Всё больше в обязательную программу учебных заведений включаются курсы теории множеств, математической логики, комбинаторики, теории графов и их фрагменты. Специалисты в области современных компьютерных технологий уже осознали, что эти разделы математики являются фундаментом для построения необходимой сейчас хорошей теории математического обеспечения информационных технических систем. Многие специалисты, казалось бы, далёкие от математики, также начинают сознательно знакомиться с их содержанием.

Методические указания предназначены для студентов специальностей «Программное обеспечение», «Системы автоматизированного проектирования», «Основы защиты информации», «Профессиональное обучение», «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» и ряда других специальностей, изучающих дискретную математику.

Представленные указания содержат разбор основных задач по основным темам дискретной математики как для практических занятий, так и для расчетно-графических работ, экзаменационные вопросы и список рекомендуемой литературы.

1. Разбор типичных задач

1. Элементы теории множеств Множества. Операции над множествами

Объединением множеств А и В называется множество АВ = {x|xА или хВ}.

Пересечением множеств А и В называется множество АВ = {x|xА и хВ}.

Разностью множеств А и В называется множество А\В = {х|хА и хВ}.

Декартовым или прямым произведением множеств А и В называется множество всех пар вида (а,b), где аА, bВ.

1. Найти пересечение, объединение, разности и прямое (декартово) произведение множеств А и В.

а) А = {-1;0;3;4}, В = {0;4;6}

АВ = {-1;0;3;4;6}.

АВ = {0;4}.

А\В = {-1;3}; В\А={6}

= {(-1,0), (-1,4), (-1,6), (0,0), (0,4), (0,6), (3,0), (3,4), (3,6), (4,0), (4,4), (4,6)}.

б) А = [0;2], B=[1;5].

AB = [0;5]

AB = [1;2]

A\B = [0;1); B\A = (2;5]

= {(x;y)| x[0;2], y[1;5]}.

2. Доказать методом встречных включение и продемонстрировать на диаграммах Эйлера-Венна

A\(BC) = (A\B)(A\C).

Обозначим левую часть Х, правую часть У. Докажем, что Х = У.

1. Докажем, что ХУ. Пусть выбран произвольный элемент хХ, т.е. хА\(BC). Значит, хА и хBC, поэтому хА, хB и хС, тогда хА\B и хА\С, следовательно, х(А\B)(А\С). Значит, ху. Так как элемент x выбран произвольно, то ХУ.

2. Докажем, что УХ. Пусть выбран произвольный элемент уУ, т.е. у(А\B)(А\C). Значит, у(А\B) и y(A\C). Тогда уА и уВ, уА и уС, следовательно, уА и у(BC), поэтому уА\(BС). Значит, уХ. Так как элемент y выбран произвольно, то УХ.

Из 1. и 2. следует, что Х = У (рис.1).

3. Из 100 студентов 28 изучают английский язык, 30 – немецкий язык, 42 – французский язык, 8 – английский и немецкий язык, 10 – английский и французский язык, 5 – немецкий и французский язык и 3 студента – все 3 языка. Сколько человек не изучают ни одного языка? Сколько изучают только французский язык?

Пусть u – множество студентов. По условию мощность множества |u|=100 (рис.2). Пусть А – множество студентов, изучающих английский язык, N – множество студентов, изучающих немецкий язык, F – множество студентов, изучающих французский язык.

По условию |A| = 28, |N| = 30, |F| = 42, |AN| = 8, |AF| = 10, |NF| = 5, |ANF| = 3.

Необходимо найти множество студентов, не изучающих ни одного языка, т.е. |u\(ANF)| = |U| - (|A| + |N| + |F|) + |AN| + |AF| + |NF| - |ANF| = 20 и множество студентов, изучающих только французский язык |F\(AN)| = |F| - (|AF| + |NF|) + |ANF| = 30.