Министерство образования и науки РФ

Брянский государственный технический университет

Кафедра «Высшая математика»

УТВЕРЖДАЮ

Ректор университета         

____________  О.Н. Федонин

    «___»__________2013 г

ЗАДАЧИ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Материалы к практическим занятиям

для студентов 1 курса БГТУ

Часть I. Теория множеств

Брянск

2013

УДК 511

Задачи по дискретной математике [Текст] + [Электронный ресурс]: материалы к практическим занятиям для студентов I курса очной формы обучения. Часть I. Теория множеств. – Брянск: БГТУ, 2013. - 27с.

Разработали: доц., к.ф.м.-н. Пугач Л.И.

ст. преп. Вискина Г.Г.

Рекомендовано кафедрой «Высшая математика» БГТУ

(протокол № 5 от 30. 01. 13)

Научный редактор В.М.Кобзев  

Редактор издательства Л.И. Афонина                    

Компьютерный набор Г.Г. Вискина

Темплан. 2013 г,п. 198

Подписано в печать Формат 6084  1/16. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Печ. л. 1,81 Уч.-изд. л. 1,81 Т. 50 экз. Заказ бесплатно

Брянский государственный технический университет

241035, г. Брянск, бульвар им. 50-летия Октября, 7, БГТУ, 58-82-49.

Лаборатория оперативной полиграфии БГТУ, ул. Институтская, 16.

Предисловие

В настоящее время интерес к дискретной математике неуклонно растёт. Всё больше в обязательную программу учебных заведений включаются курсы теории множеств, математической логики, комбинаторики, теории графов и их фрагменты. Специалисты в области современных компьютерных технологий уже осознали, что эти разделы математики являются фундаментом для построения необходимой сейчас хорошей теории математического обеспечения информационных технических систем. Многие специалисты, казалось бы, далёкие от математики, также начинают сознательно знакомиться с их содержанием.

Методические указания предназначены для студентов специальностей «Информатика и вычислительная техника», «Программная инженерия», «Профессиональное обучение», «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», изучающих дисциплину «Дискретная математика».

Представленные указания содержат разбор основных задач по основным темам дискретной математики, как для практических занятий, так и для самостоятельных и контрольных работ, экзаменационные вопросы и список рекомендуемой литературы.

Тема 1 Основы теории множеств и комбинаторики.

1 «Операции над множествами»

1. Необходимые определения и формулировки теорем.

1. Назовите синонимы слова «множество».

2. Что такое «элемент множества»?

3. Что означает фраза «Множество А является подмножеством множества В»?

4. Что такое «пустое множество»?

5. Какие два множества называются равными?

6. Когда два множества равны? (поясните суть метода включений)

7. Какие операции на множествах существуют?

8. Что такое «объединение множеств»?

9. Что такое «пересечение множеств»?

10. Что такое «разность множеств А и В»?

11. Что такое «универсальное множество»?

12. Что такое «диаграммы Эйлера-Венна» и для чего они используются?

13. Поясните понятие «симметрическая разность множеств» и проиллюстрируйте его на диаграмме Эйлера-Венна.

14. Поясните понятие «дополнение множества до универсального» и проиллюстрируйте его на диаграмме Эйлера-Венна.

2. Задачи для усвоения материала.

   1. Заданы множества ,. Выписать все подмножества каждого из этих множеств. Сколько всего подмножеств у множества? у множества?

   2. Сколько всего подмножеств у множества, содержащего 10 элементов?

   3. Заданы множества А и В, а также универсальное множество U. Выписать множества , если

а) ;

б) ;

в);

г) ;

д)

е) ;

ж) ;

з) ;

и) .

4. Множества А, В, С представляют собой области, изображённые на рисунке 1.

Изобразите следующие множества:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

5. Множества А, В, С, D представляют собой области, изображённые на рисунке 2.

Изобразите следующие множества:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

*Выберите два из ещё возможных изображений множеств и отобразите множества, указанные в пунктах а) – д).

6. Изобразите заданные множества на числовой прямой:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

7. Проиллюстрировать на диаграммах Эйлера-Венна и доказать методом включений формулы.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е);

ж).

8. Дать теоретико-множественную интерпретацию и решить задачи. Проиллюстрировать на диаграммах Эйлера-Венна.

а) В результате поиска в Интернете выданы адреса Web-страниц www.cont1, www.cont2, www.cont3, www.st1, www.st2, www.st3, www.inf.ru, www.inf.au, содержащих комбинацию ключевых слов «electronic_libraries». Известно, что страницы с адресами www.cont1, www.cont3, www.st1, www.st2, www.inf.au содержат информацию о книгах по техническим наукам, страницы www.st1, www.st2, www.st3, www.inf.ru, www.inf.au – сведения о периодических изданиях. Адрес www.inf.au указывает на страницу с информацией об электронных библиотеках Австралии. Найти множество всех адресов, указывающих на страницы, содержащие информацию о периодических изданиях по техническим наукам, исключая издания в Австралии.

б) Имеется набор ключевых слов для поиска в Интернете информации, связанной с современными средствами электронного документооборота. Из этих ключевых слов можно выделить слова, позволяющие найти Web-страницы, содержащие информацию о современных текстовых процессорах, современных средствах хранения документов, способах передачи электронных документов по каналам связи, и некоторые страницы со специфической информацией. Требуется выделить из всех ключевых слов такие, которые позволят находить страницы, не связанные с хранением и передачей документов, однако содержащие сведения о современных текстовых процессорах.

3. Самостоятельная работа 1.

Вариант 0.

1. Задано множество

   1. Выписать все его подмножества.

   2. Выписать все элементы множества , где

2. Проиллюстрировать на диаграммах Эйлера-Венна множество

.

3. Проиллюстрировать на диаграммах Эйлера-Венна и доказать методом включений тождество:

4. Решение некоторых типовых заданий.

   1. Задано множество

      1. Выписать все его подмножества.

      2. Выписать все элементы множества , где

Решение.

1. Подмножества множества могут содержать от нуля до четырёх элементов (включая пустое множество и множество). Будем выписывать подмножества в порядке возрастания количества элементов. Учтём, что пустое множество является подмножеством любого множества, кроме того, любое множество является подмножеством самого себя.

Имеем:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

1. Будем искать множество , выполняя операции последовательно.

1. Множество состоит из всех элементов множества , которые не принадлежат множеству. Имеем:;

2. Множество состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств или. Имеем:

.

3. Множество состоит из всех элементов множества , которые не принадлежат множеству .

Видим, что, М – пустое множество.

2. Доказать методом включений тождество:

.

Решение.

Необходимо доказать выполнение включений:

и .

1. Выберем произвольный элемент множества. По определению операции объединения множествили.

Если , то по определению операции пересечения множестви.

Так как , то; так как, то, следовательно,.

Если , тои, и, таким образом,.

Поскольку элемент множествабыл выбран произвольно, можно утверждать, что любой элемент этого множества содержится в, то есть.

2. Выберем произвольный элемент из множества

.

По определению операции пересечения множеств и.

Так как , тоили; так как, тоили. Таким образом,илии.

Если и, то, а, следовательно,; если, то также имеем.

Поскольку элемент множествабыл выбран произвольно, можно утверждать, что любой элемент этого множества содержится в, то есть.

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что .

Доказано.