2. «Отображения множеств».

1. Необходимые определения и формулировки теорем.

   1. Что такое «отображение множеств»?

   2. Что такое «однозначное отображение множеств»?

   3. Что такое «многозначное отображение множеств»?

   4. Как вы понимаете термин «образ элемента»?

   5. Как вы понимаете термин «образ множества»?

   6. Как вы понимаете термин «прообраз элемента»?

   7. Как вы понимаете термин «прообраз множества»?

   8. Какое отображение называется сюръективным?

10. Какое отображение называется инъективным?

11. Какое отображение называется биективным?

2. Задачи для усвоения материала.

   1. Задано отображение f: RR, f(x)=x³.

а) Найти образ отрезка ;

б) Найти прообраз отрезка ;

в) Определить, является ли отображение f инъективным;

г) Определить, является ли отображение f сюръективным.

2. Рассмотрим отображение f: R R, заданное формулой f(x)=x⁴. Является ли оно инъективным? сюръективным?

3. То же для отображения f(x)=3^-x.

4. То же для отображений f(x)=x²–x³ и f(x)=x+x³.

5. Отображение f : RR задано формулой f(x)=x⁴+x².

а) Определить, является ли отображение инъективным;

б) Определить, является ли отображение сюръективным;

в) Определить, является ли отображение биективным.

6. На множестве людей L рассмотрим отображение f: LL, сопоставляющее каждому человеку его мать. Является ли оно инъективным? сюръективным?

7. На множестве точек плоскости рассмотрим отображение симметрии точки относительно начала координат. Будет ли оно инъективным? сюръективным? биективным?

8. На множестве точек плоскости рассмотрим отображение проектирования точки на ось ОХ. Является ли оно инъективным? сюръективным? биективным?

3. Самостоятельная работа 2.

Вариант 0

Задано отображение f: RR, f(x)=x³,

1. Найти образ отрезка

2. Найти прообраз отрезка

3. Определить, является ли отображение инъективным.

4. Определить, является ли отображение сюръективным.

5. Определить, является ли отображение биективным.

2) Задано отображение f: RR,

1. Определить, является ли отображение инъективным.

2. Определить, является ли отображение сюръективным.

3. Определить, является ли отображение биективным.

IV. Решение некоторых типовых заданий.

1. Задано отображение f: (–1;+) R, f(x)=ln(x+1).

   1. Определить, является ли отображение инъективным.

   2. Определить, является ли отображение сюръективным.

   3. Определить, является ли отображение биективным.

   4. Найти образ отрезка .

   5. Найти прообраз отрезка .

Решение.

а) Пусть , тогда; и ввиду возрастания логарифмической функции, следовательно, отображениеинъективно;

b) Из равенства y=ln(x+1) мы видим, что для любого значения

yR существует прообраз , а именноx=e^y–1, таким образом, отображение сюръективно.

c) Так как отображение инъективно и сюръективно, то оно является биективным.

d) В силу монотонности отображения достаточно найти образы концов заданного отрезка:

; .

Итак, образом отрезка в отображении является , то есть.

e) В силу монотонности отображения достаточно найти прообразы концов заданного отрезка:

;

.

Итак, прообразом отрезка является,