IV. Решение некоторых типовых заданий.

1*. Используя методы теории множеств, решить задачу:

В результате опроса 76 школьников выяснилось, что 45 занимаются в кружке по рисованию, 31 - в танцевальном кружке, 52 – в кружке «Умелые руки». Три кружка посещают 8 школьников; кружки по рисованию и «Умелые руки» - 28; кружки по рисованию и танцевальный – 16; танцевальный кружок и кружок «Умелые руки» - 20. сколько школьников из опрошенных не занимаются ни в одном кружке?

Решение.

Пусть - множество тех школьников, из 76 опрошенных, которые занимаются в кружке по рисованию,- втанцевальном кружке, С – в кружке «Умелые руки». Все эти множества являются подмножествами множества всех опрошенных школьников. По условию задачи,,,,.

Так как школьник, посещающий кружки по рисованию и «Умелые руки», принадлежит и множеству , и множеству, то, следовательно, он принадлежит и множеству. Согласно условию задачи,.

Так как школьник, посещающий кружки по рисованию и танцевальный, принадлежит и множеству , и множеству, то, следовательно, он принадлежит и множеству. Согласно условию задачи,.

Так как школьник, посещающий кружки танцевальный и «Умелые руки», принадлежит и множеству , и множеству, то, следовательно, он принадлежит и множеству. Согласно условию задачи,.

Так как школьник, посещающий все кружки принадлежит и множеству , и множеству, и множеству, то, следовательно, он принадлежит и множеству. Согласно условию задачи,.

Пусть - множество школьников, занимающихся хотя бы в одном кружке. Тогда. Существует формула:

Таким образом, . Итак, 72 школьника занимаются в каком-либо кружке. Поэтому не занимаются ни в одном кружке 76–72=4 школьника.

Ответ: 4 школьника.

6. «Отношения на множестве»

I. Необходимые определения и формулировки теорем.

1. Что такое отношение на множестве?

2. Какие виды отношений на множестве Вы знаете?

3. Какое отношение называется рефлексивным?

4. Какое отношение называется антирефлексивным?

5. Какое отношение называется симметричным?

6. Какое отношение называется асимметричным?

7. Какое отношение называется антисимметричным?

8. Какое отношение называется транзитивным?

9. Что такое «отношение эквивалентности»?

10. Сформулируйте основное свойство отношения эквивалентности.

11. Что такое «отношение порядка»?

12. Что такое «отношение строгого порядка»?

13. Что такое «отношение нестрогого порядка»?

14. Какое множество называется вполне упорядоченным?

15. Какое множество называется частично упорядоченным?

16. Что такое цепь?

II. Задачи для усвоения материала.

1. Выяснить, какими свойствами обладает отношение на множествеA, если .

2. Отношение Г на множестве всех книг в библиотеке определим следующим образом. Пара книг a и b принадлежит Г, тогда и только тогда, когда в этих книгах есть ссылки на одни и те же литературные источники. Является ли Г рефлексивным отношением? симметричным отношением? Отношением эквивалентности?

3. Отношение Г на некотором множестве ключевых слов для поиска в Интернете определим следующим образом. Пара ключевых слов a и b принадлежит Г тогда, и только тогда, когда они начинаются с одного и того же символа. Является ли Г отношение эквивалентности? Если да, то описать классы эквивалентности, индуцированные данным отношением.

4. Определим на множестве NN пар натуральных чисел отношение Г условием: означает, чтои. Показать, что это множество, с заданным на нём отношением Г, является частично упорядоченным.

5. На плоскости xOy рассмотрим отношение Г: (x₁,y₁)Г(x₂,y₂), если выполнено x₁+y₁=x₂+y₂. Является ли оно отношением эквивалентности? Если да, то что служит классом эквивалентности?

6. На множестве людей рассмотрим отношение "быть предком". Является ли оно отношением порядка? Если да, то что является цепью?

7. На плоскости xOy рассмотрим отношение Г: (x₁,y₁) Г (x₂,y₂), если выполнено x₁ x₂ и y₁<y₂.Является ли оно отношением порядка? Если да, то что служит цепью?