Описание программы, входных и выходных параметров

На рис. 5.1 представлен пример окна программы, реализующей четыре метода вычисления производной. Была выбрана функция . Производная вычислялась по определению с точностьюв точке. Нарис. 5.1 жирной линией показан график функции, тонкой линией  график ее производной.

Рис. 5.1. Пример окна программы для вычисления производных

В данной программе необходимо предусмотреть ввод следующих значений:

• для варианта 1: точки, в которой должна быть вычислена производная, итребуемой точности;

• для вариантов 2  4: икрайних точек отрезка ичисла шагов;

• выбор одной из нескольких заданных функций (для всех вариантов).

Вычисление производной должно быть реализовано в виде функции, в которую в качестве параметров передаются исходные данные соответствующего варианта и указатель на функцию, производную которой нужно найти.

Выходные данные значение производной в заданной точке дляварианта 1, таблица значений производной длявариантов 2 и 3, графики исходной функции и производной для всех вариантов.

Контрольные вопросы

1. Какой метод не позволяет найти производную функции в крайних точках отрезка?

2. В чем заключается метод вычисления производной по определению?

3. В чем заключается метод вычисления производной методом правых разностей? В каких точках нельзя найти производную этим методом?

4. В чем заключается метод вычисления производной методом левых разностей?

5. В чем заключается метод вычисления производной методом центральных разностей?

6. Какой из методов точнее: правых разностей или центральных разностей?

7. Какой метод точнее: вычисления второй производной или левых разностей?

Лабораторная работа 6 Численное интегрирование

Цель и задачи работы: изучение наиболее часто применяемых методов численного интегрирования, приобретение навыков реализации этих методов на ЭВМ.

Квадратурные формулы интегрирования

Для приближенного вычисления определенного интеграла разобьем отрезок интегрированиянаравных частей точкамис шагом. Значения функциив точках разбиения обозначим через. Непрерывная подынтегральная функциязаменяется сплайном - кусочно-полиномиальной функцией, аппроксимирующей данную функцию. Интегрируя функциюна отрезке, придем к некоторой формуле численного интегрирования (квадратурной формуле).

Рассматриваемые в данной лабораторной работе методы интегрирования по увеличению точности можно упорядочить следующим образом:

• метод трапеций;

• метод прямоугольников;

• метод парабол (Симпсона);

• метод Гаусса.

Метод трапеций

Заменяя функцию на отрезкеее линейной интерполяцией по точками, получим непрерывную кусочно-линейную функцию

, .

Интегрируя полученную функцию на отрезке , получаем формулу трапеций:

. (6.1)

Метод прямоугольников

Если на каждой части деления отрезкафункциюзаменить функцией, принимающей постоянное значение, равное значениюв срединной точке-й части, то функция будет иметь ступенчатый вид:

.

Интегрируя на отрезке, получаем квадратурную формулу прямоугольников:

. (6.2)

Метод Симпсона (парабол)

Заменяя подынтегральную функцию сплайном, представляющим собой непрерывную функцию, составленную из примыкающих парабол, можно получить формулу Симпсона. На отрезке парабола должна проходить через 3 точки:,и.

Квадратурная формула Симпсона:

(6.3)

Наибольшей точностью из приведенных методов численного интегрирования обладает метод Симпсона.

Практически важно вести вычисления до достижения заданной точности по той или иной квадратурной формуле. Для этого используетсяметод двойного пересчета, который заключается в следующем. По квадратурной формуле проводят вычисления интеграла с шагом и получают значение. Затем уменьшают шаг вдвое и получают новое приближенное значение интеграла. При заданной точностивычисления с убывающим шагом проводят до окончания приближений по выполнении условия

, (6.4)

где для методов трапеций и прямоугольников,для метода Симпсона.