Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцам

Метод Гаусса с выбором главного (максимального) элемента по столбцам является одной из модификаций метода Гаусса, позволяющих уменьшить погрешность вычислений.

В начале первого шага прямого хода среди коэффициентов при неизвестных находим максимальный по модулю (предположим, ). После этого в исходной системе (1.1) можно произвести перестановку: первое уравнение поставить на местоj-го, j-е  на место первого. Далее вычисления проводят в описанной ранее последовательности.

В начале второго шага наибольший по модулю элемент выбирают среди коэффициентов при неизвестном , снова возможна соответствующая перестановка и исключение неизвестного , начиная с 3-го уравнения, и т. д., вплоть до последнего шага прямого хода в методе Гаусса.

Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

С помощью этих методов решаются системы вида (1.1) или, иначе, векторно-матричных уравнений , где- вещественная матрица коэффициентов системы;- векторсвободных членов;- векторнеизвестных.

Нормы матриц

Нормы матриц часто используются при определении погрешности различных численных методов. В частности, в итерационных методах решения систем линейных алгебраических уравнений они применяются для того, чтобы определить погрешность решения, найденного на каждой итерации.

Как правило, используются нормы трех видов.

1. M-норма. Вычисляется по формуле

, где i – номер строки, j – номер столбца.

Пример. Для матрицы m-норма равна

2. L-норма. Вычисляется по формуле

, где i – номер строки, j – номер столбца.

Пример. Для матрицы l-норма равна

3. K-норма. Вычисляется по формуле

, где i – номер строки, j – номер столбца.

Пример. Для матрицы

k-норма равна

Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений Метод простых итераций

Метод простых итераций основан на пошаговом приближении к точному решению, при этом для нахождения решения с заданной точностью требуется несколько итераций.

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом простых итераций можно разбить на несколько шагов.

1. Исходную систему уравнений вида (1.1) привести к эквивалентной системе, пригодной для итераций, вида

. (1.5)

Здесь ,

2. Для приведенной матрицы проверить сходимость итерационного процесса с использованием условия. Если какая-либо норма этой матрицы меньше 1, то итерационный процесс будет сходиться.

3. Записать последовательность итераций:

. (1.6)

4. Выбрать начальное приближение. В качестве начального приближения могут выбираться произвольные значения, но при вычислениях обычно принимается .

5. Можно оценить число итераций, необходимых для достижения требуемой точности, по формуле , где– требуемая точность.

6. Проводить вычисления по формулам (1.6). Итерационный процесс можно реализовать с использованием операторов

do {последовательность действий} while (условие),

то есть проводить вычисления до тех пор, пока выполняется условие ().

Здесь – погрешность данной итерации, которая вычисляется по формуле .

Примечание: Необходимо использовать только один вид норм, как правило, это m-норма.