- •Вычислительная математика
- •210100 "Управление и информатика в технических системах"
- •680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136.
- •Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса
- •Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцам
- •Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Нормы матриц
- •Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений Метод простых итераций
- •Метод Зейделя
- •Задания
- •Описание программы, входных и выходных параметров
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 2 решение нелинейных уравнений
- •Решение алгебраических уравнений методом половинного деления
- •Метод отделения корней
- •Метод итераций
- •Метод поразрядного приближения
- •Задания
- •Описание программы, входных и выходных параметров
- •Контрольные вопросы
- •Точечное среднеквадратичное приближение функций многочленами Чебышева
- •Задания
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 4 интерполирование функций
- •Интерполяционная формула Лагранжа
- •Интерполяция кубическими сплайнами
- •Задание
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа5
- •Описание программы, входных и выходных параметров
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 6 Численное интегрирование
- •Квадратурные формулы интегрирования
- •Метод трапеций
- •Метод прямоугольников
- •Метод Симпсона (парабол)
- •Квадратурная формула Гаусса
- •Задание
- •Лабораторная работа 7 численное решение дифференциальных уравнений
- •Методы Рунге-Кутта
- •Метод Эйлера
- •Метод Эйлера-Коши
- •Метод Рунге-Кутта 4-го порядка
- •Задание
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа8 поиск экстремумов функции
- •Сужение промежутка унимодальности
- •Численные методы поиска минимума функции одной переменной Метод половинного деления
- •Метод золотого сечения
- •Метод сканирования
- •Задание
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Оглавление
Точечное среднеквадратичное приближение функций многочленами Чебышева
Пусть на множестве точек задана функцияи определена система функций.
Скалярным произведением функций и на множестве точек называется сумма произведений значений этих функций, вычисленных во всех точках, т. е.
.
Число называетсянормой функции на множестве точек .
Коэффициенты обобщенного многочлена
называются коэффициентами Фурье функции относительно ортогональной системы функций, если определяются по формулам
.
Квадрат наименьшего среднеквадратичного отклонения определяется соотношением , где- коэффициенты Фурье.
Оценка погрешности приближения определяется величиной
.
Многочленами Чебышева на множестве точек называются многочлены ортогональные на этом множестве, с нормой, отличной от нуля, и определяемые следующими рекуррентными формулами:
; ;,
где
;;.
Задания
Написать программу для аппроксимации аналитически заданной функцией с помощью тригонометрических многочленов.
В данной программе следует предусмотреть возможность ввода степени многочлена n и величины отрезка l (визуальный компонент TEdit), вывода коэффициентов и(визуальный компонентTStringGrid) и построения графиков заданной функции и аппроксимирующего многочлена.
Написать программу для аппроксимации таблично заданной функции с помощью многочленов Чебышева.
В данной программе должны вводиться значения степени многочлена n, числа точек m, таблицы значений функции и. Результат работы программы – таблица параметров,и коэффициентов Фурье, а также график заданной функции и аппроксимирующего многочлена.
Нарис. 3.1 представлено окно программы, в которой реализован метод аппроксимации с помощью тригонометрических многочленов.
Рис.3.1. Аппроксимация тригонометрическими многочленами
Жирной линией изображен график исходной функции, тонкой линией график аппроксимирующего многочлена .
Контрольные вопросы
Что такое аппроксимация?
В чем отличие между аппроксимацией аналитически и таблично заданных функций?
Какие функции называются ортогональными?
Чем характеризуется точность приближения?
Лабораторная работа 4 интерполирование функций
Цель и задачи работы: изучение методов интерполяции и получение навыков их применения при решении задач с помощью ЭВМ.
Интерполяционная формула Лагранжа
Пусть функция определена таблицей
… | ||||
A |
… |
Значения аргументов называютсяузлами интерполяции.
Задачей интерполяции является построение многочлена , значения которого в узлах интерполяцииравны соответствующим значениям заданной функции, т. е.
.
Интерполяционной формулой Лагранжа называется формула, представляющая многочлен в виде
, (4.1)
где - многочлен степени, принимающий значение, равное 1, в узлеи 0 в остальных узлахи имеющий вид
. (4.2)
Многочлен (4.1) называется интерполяционным многочленом Лагранжа. Степень многочлена Лагранжа не превышает .
Интерполяция кубическими сплайнами
Пусть отрезок разбит начастей точками:
.
Сплайном k-й степени называется функция, представляющая собой многочлен не выше k-й степени на каждом из последовательно примыкающих друг к другу интервалов . Функция непрерывна вместе со своими производными до порядка не вышеk.
Например, непрерывная кусочно-линейная функция (ломаная) является сплайном первой степени с производной, терпящей разрыв в точках излома.
Пусть на отрезке определена функция, значения которой в точкахравны.
Задача интерполяции функции на отрезке кубическим сплайном(сплайном третьей степени)состоит в нахождении функции, равной многочлену третьей степенина каждом отрезке ,т. е.
, , (4.3)
причем значения сплайна в узлах интерполяции равны соответствующим значениям заданной функциии сплайн-функция непрерывна в узлах интерполяции вместе с производными первого и второго порядков:
, (4.4)
, (4.5)
, (4.6)
. (4.7)
Условия (4.4) (4.7) дают линейных алгебраических уравнений для определениянеизвестных коэффициентов(p=0, 1, 2, 3; i=1, 2,..., n) при соответствующих степенях в многочленах.
Интерполяционный кубический сплайн для функции существует и является единственным, если вместе с этими уравнениями выполняется какая-либо пара дополнительных (краевых) условий:
1. ;
2. ;
3. .
Рассмотрим случай разбиения отрезка наn равных частей с шагом h, для которого ис использованием краевых условий 1-го типа.
Введем величины (наклоны сплайна в точках(i=0, 1,..., n)).
Интерполяционный кубический сплайн вида
(4.8)
удовлетворяет условиям (4.4) ‑ (4.6) для любых . Из условия (4.7) и краевых условий 1-го типа можно определитьn+1 параметр :
.
Учитывая, что
а также краевые условия 1-го типа и условия (4.7), то получим систему из n+1 линейных уравнений относительно неизвестных :
(4.9)
Решение этой системы позволяет найти значения неизвестных и определить интерполяционный сплайн в виде соотношений (4.8). Система (4.9) может быть решена методом Гаусса или одной из его модификаций.