Метод поразрядного приближения

Метод поразрядного приближения позволяет найти все корни на отрезке с заданной точностью.

1. Присвоить , где– шаг, который будет изменяться в ходе решения;и, где– индекс для отображения найденных корней. Найти знак. Присвоить значение.

2. Вычислить новое значение . Проверить выполнение условия. Если выполняется, то выход, если нет, то переход кп. 3.

3. Вычислить . Проверить условие. Если выполняется, то переход кп. 2, иначе п. 4.

4. , где - показатель уменьшения шага. Проверить условие, то есть достижение заданной точности. Если условие выполняется, топ. 5, иначе п. 2.

5. . Вывод результата . Присвоить,и перейти кп. 2.

Нарис. 2.2 показан фрагмент окна программы ().

Рис. 2.2. Метод поразрядного приближения

Задания

1. Написать программу для вычисления корня уравнения методом половинного деления. Отрезок, в котором содержится корень, выбирать первым способом отделения корней.

2. Написать программу для решения уравнения методом поразрядного приближения. В программу также включить отделение корней первым способом.

3. Написать программу для решения уравнений методом итераций. Отрезки, содержащие корень, выбирать вторым способом отделения корней.

4. Написать программу для вычисления корня уравнения методом половинного деления. Отрезок, в котором содержится корень, выбирать вторым способом отделения корней (строить график функции ).

5. Написать программу для решения уравнений методом итераций. Отрезки, содержащие корень, выбирать первым способом отделения корней.

6. Написать программу решения уравнения методом поразрядного приближения. В программу также включить отделение корней третьим способом (с построением графиков функций и).

Описание программы, входных и выходных параметров

В этих вариантах необходимо предусмотреть следующее:

• возможность ввода начала и конца отрезка , точности(с помощью визуального компонентаTEdit) – во всех вариантах;

• программа должна выводить результат , значение погрешностии число шагов, потребовавшихся для достижения заданной точности (можно использовать визуальные компонентыTLabel);

• в 1, 2 и 5-м вариантах программа должна также выводить отрезки, в которых содержатся корни уравнения (можно использовать визуальный компонент TMemo); в 3-м и 4-м вариантах должен строиться график функции (TChart), в 6-м варианте должны строиться графики двух функций (TChart);

• при решении уравнения методом поразрядного приближения должна быть предусмотрена возможность ввода значений начального шага и показателя уменьшения шага. Полученные значенияможно выводить вTMemo.

Контрольные вопросы

1. В чем заключается метод половинного деления?

2. Сколько корней будет найдено методом половинного деления, если на концах отрезка функция имеет одинаковые знаки?

3. Какой из методов позволяет найти несколько корней на отрезке с заданной точностью?

4. В чем заключается метод итераций?

5. Для чего используется метод отделения корней?

6. В чем заключается метод поразрядного приближения?

Лабораторная работа 3

СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

(АППРОКСИМАЦИЯ) ФУНКЦИЙ

Цель и задачи работы: изучение методов среднеквадратичного приближения, приобретение навыков их реализации на ЭВМ.

Среднеквадратичное приближение функций

тригонометрическими многочленами

Пусть на отрезке задана функция и определена система функций.

Обобщенным многочленом (полиномом) порядка (степени) относительно системы функцийназывают функцию вида

,

где - некоторые постоянные.

Обобщенный многочлен называется многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения функции, если расстояние от функции до многочлена по среднеквадратичной норме (среднеквадратичное отклонение) наименьшее, т. е.

- наименьшее. (3.1)

Задачу нахождения такого многочлена называют задачей об интегральном среднеквадратичном приближении (аппроксимации) функции на отрезке обобщенным многочленом. Задача сводится к нахождению коэффициентов из условия о наименьшем:

, k=0, 1, 2,…, n. (3.2)

Скалярное произведение функций ина отрезке:

.

Норма функции на отрезке:

.

Квадрат наименьшего среднеквадратичного отклонения определяется соотношением

,

где - коэффициенты Фурье, определяемые по формуле (3.2).

Пусть задана система тригонометрических функций

на отрезке . Для функции, интегрируемой с квадратом на отрезке, тригонометрическим многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения является тригонометрический многочлен

,

где ,и- коэффициенты Фурье по тригонометрической системе функций, определяемые по формулам

,

,

.

Среднеквадратичное отклонение аппроксимирующего многочлена от функции в данном случае выражается равенством

.

Среднеквадратичное отклонение, отнесенное к норме аппроксимируемой функции , характеризует точность приближения и обозначается

.

Аппроксимация тригонометрическими многочленами предназначена для работы с аналитически заданными функциями.