Задание

1. Написать программу интерполяции функции с помощью метода Лагранжа.

2. Написать программу интерполяции функции с помощью метода кубических сплайнов.

Описание программы, входных и выходных данных

Входные данные

В данной программе должны вводиться значения степени многочлена n, числа точек m и таблицы значений и(узлов интерполяции). Возможен вариант выбора одной из 2 или 3 функций и построения для нее на заданном отрезкеинтерполяционного многочлена заданной степенипоточкам.

Выходные параметры

Результат работы программы – график функции и интерполяционного многочлена на заданном отрезке. Необходимо также предусмотреть возможность ввода значения и вычисления приближенного значения функции в этой точке с помощью интерполяционного многочлена.

На рис. 4.1 представлено окно программы, вычисляющей кубический сплайн для таблично заданной функции.

Рис. 4.1. Программа вычисления сплайна

В приведенном примере жирной линией показан график исходной функции, тонкой линией - график сплайна с шагом.

Контрольные вопросы

1. В чем заключается метод интерполяции Лагранжа?

2. Какой порядок будет иметь многочлен Лагранжа, вычисленный по 4 точкам?

3. Какой метод интерполяции более точен  Лагранжа или кубических сплайнов?

4. В чем заключается метод кубических сплайнов?

5. Из скольких сплайн-функций будет состоять сплайн, вычисленный по 3 точкам?

6. Сколько производных кубического сплайна должны быть равны в узлах интерполяции?

7. Как находятся коэффициенты сплайна?

Лабораторная работа5

ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Цель и задачи работы: изучение наиболее часто применяемых методов численного дифференцирования, приобретение навыков реализации этих методов на ЭВМ.

Вычисление производной по ее определению

Метод вычисления производной по ее определению служит для приближенного вычисления производной функции, для которой известно аналитическое выражение.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точкии имеет производную в этой точке. Значение производной в точкеможно получить по формуле

, (5.1)

где - некоторое начальное приращение аргумента;- некоторое число больше 1,.

Для достижения заданной точности приближения производной можно использовать неравенство

.

Конечно-разностные аппроксимации производных

Пусть отрезок разбит начастей точками:

.

Разность между соседними аргументами постоянна, т.е. шаг . Пусть на отрезкеопределена функция, значения которой в точкахравны.

Первую производную этой функции можно приближенно вычислить тремя методами.

1. Аппроксимация с помощью разностей вперед (правых разностей)

. (5.2)

Данный метод не позволяет найти значение производной в точке . Погрешность имеет порядок.

2. Аппроксимация с помощью разностей назад (левых разностей)

. (5.3)

Данный метод не позволяет найти значение производной в точке . Погрешность имеет порядок.

3. Аппроксимация с помощью центральных разностей

. (5.4)

Данный метод не позволяет найти значения производной в точках и. Погрешность имеет порядок.

Задание

1. Написать программу вычисления производной для любой заданной функции с заданной точностью по определению. Построить графики функции и ее производной на заданном отрезке.

2. Написать программу вычисления производной для любой заданной функции методом правых разностей. Построить графики функции и ее производной.

3. Написать программу вычисления производной для любой заданной функции методом левых разностей. Построить графики функции и ее производной.

4. Написать программу вычисления производной для любой заданной функции методом центральных разностей. Построить графики функции и ее производной.