Министерство образования Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

"Хабаровский государственный технический университет"

Вычислительная математика

Методические указания по выполнению лабораторных работ 1  8

для студентов 2-го курса специальностей

210100 "Управление и информатика в технических системах"

и 071900 "Информационные сети"

Хабаровск

Издательство ХГТУ

2004

УДК

Вычислительная математика: Методические указания по выполнению лабораторных работ для студентов специальностей 210100 "Управление и информатика в технических системах" и 071900 "Информационные системы" / Сост. И. В. Епанешникова.  Хабаровск: Изд-во Хабар. гос. техн. ун-та, 2004. -42 с.

Методические указания разработаны на кафедре "Автоматика и системотехника" и предназначены для оказания помощи студентам, выполняющим лабораторные работы по дисциплине "Вычислительная математика".

Содержат сведения по основным численным методам, варианты заданий и краткое описание хода выполнения лабораторных работ.

Печатается в соответствии с решениями кафедры "Автоматика и системотехника" и методического совета ИИТ.

Главный редактор Л. А. Суевалова Редактор Л. С. Бакаева Компьютерная верстка И. В. Епанешниковой

Подписано в печать . Формат 60 x 84 1/16. Бумага писчая. Гарнитура “Таймс”. Печать офсетная. Усл. печ. л. . Тираж 150 экз. Заказ .

Издательство Хабаровского государственного технического университета.

680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136.

Отдел оперативной полиграфии издательства

Хабаровского государственного технического университета.

680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136.

Хабаровский государственный технический университет, 2004

Лабораторная работа 1

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ

ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Цель и задачи работы: изучение прямых и итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений.

К решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) сводятся многие задачи (идентификация, оптимальное управление), они являются основой решения других задач вычислительной математики (системы дифференциальных уравнений и т. д.).

Методы решения СЛАУ разделяются на две группы:

1. Точные, или прямые, методы. Они характеризуются тем, что погрешность, как правило, определяется только погрешностью округления. К этой группе относятся методы Крамера, Гаусса и его модификации, прогонки и т. д. Метод Крамера менее эффективен для использования при решении задач на ЭВМ, поскольку требует большого числа арифметических операций. Метод Гаусса эффективен до порядка системы .

2. Итерационные. Основаны на получении и уточнении последовательных приближений к точному решению. Эффективны, когда много нулевых коэффициентов и высок порядок системы. Методы: простых итераций, Зейделя и т. д. Эффективны до порядка систем .

С помощью этих методов решаются системы вида

(1.1)

или, иначе, векторно-матричных уравнений , где- вещественная матрица коэффициентов системы;- вектор свободных членов;- вектор неизвестных.

Решение существует и является единственным, если выполняется условие

.

Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных. Предположим, что . В противном случае можно поменять местами первое уравнение с уравнением, в котором коэффициент прине равен 0.

1. Разделим первое уравнение системы на . Получим

, (1.2)

где ;.

2. Умножим разрешающее уравнение (1.2) на и вычтем полученное уравнение из второго уравнения системы (1.1). Аналогично преобразуем остальные уравнения:

(1.3)

где ,,… ,

,(j=2, 3,…, n).

Если коэффициент , тоi-е уравнение системы (1.1) войдет в систему (1.3) без изменений, т. е. ,, (i = 2, 3,…, n).

3. Оставив без изменений первое уравнение, можно сделать второе уравнение разрешающим и применить описанную процедуру к системе из уравнений, исключивиз третьего и последующих уравнений

где ,,,…,,(j=3, 4,…, n).

Продолжая аналогичные вычисления, приведем систему (1.1) к эквивалентной системе

(1.4)

Приведение системы (1.1) к эквивалентной системе (1.4) - прямой ход метода Гаусса. При обратном ходе происходит вычисление неизвестных, начиная с последнего, по формуле

.

Алгоритм данного метода можно записать следующим образом.

1. Для ;

2. для ;

3. ;

4. ;

5. для ;

6. ;

7. Для ;

8. .

Здесь пункты 1  6 представляют собой прямой ход, пункты 7 и 8  обратный ход метода Гаусса.