matan_bogdanskyj

Ðîçäië 4. Формула Стокса в термiнах сучасно¨ диференцiально¨ геометрi¨ .

1. Диференцiйовнi многовиди.

Параметризацiя поверхонь в R3 дозволя¹ певною мiрою ототожнити по-

верхню або ¨¨ дiлянку з областю в площинi параметрiв. Це ототожнювання дозволя¹ впроваджувати на поверхнi систему координат (принаймнi локально) i у цих координатах ста¹ можливим переносити на поверхнi вихiднi локальнi поняття математичного аналiзу. Так, наприклад, функцiю f

до замiни параметризацi¨ на еквiвалентну (див. x2:5). Ця iдея закладена в означення об'¹кта, що лежить в основi сучасно¨ диференцiально¨ геометрi¨.

точки

iсну¹ пiдмножина U M, що мiстить точку x i вза¹мно однозначе вiдображення ': U ! '(U) Rn на (вiдкриту) область '(U) â Rn. Упоряд- ковану пару (U; ') (iнодi просто ') назива¹мо картою в точцi x. Нехай додатково викону¹ться наступна умова узгодженостi карт: для кожно¨ па-

атласом многовида

топологiю. База цi¹¨ топологi¨ складена з множин ' 1(W ), äå (U; ') карта вихiдного атласу, а W вiдкрита пiдмножина в

111

Необов'язкова вправа. Доведiть, що остання умова не ¹ наслiдком вихiдного означення 1.

Вправа 1.

1.Евклiдiв простiр Rn ¹ тривiальним прикладом диференцiйовного мно- говиду розмiрностi n класу C1 (атлас взагалi можна скласти з однi¹¨ карти (Rn; id)). Перевiрте.

2.ßêùî D вiдкрита множина в Rn i F: D ! R функцiя класу

розташувати на графiку функцi¨ z = F(x; y) або x = F(y; z) або y = F(x; z) з функцi¹ю F класу C1, а потiм скористатись другим прикладом. Складнiсть в перевiрцi узгодженостi цих карт.

4.Нехай T 2 двовимiрний тор. Наприклад, T 2 поверхня обертання êîëà x2 + (y R)2 = r2 (0 < r < R) навколо осi Ox. Побудуйте на T 2 атлас класу C1.

5.Нехай поверхня S Rm+n ¹ поверхнею спiльних нулiв системи фун-

6. Нехай M = O(3; R) множина всiх дiйсних ортогональних матриць

112

порядку 3. Користуючись результатом попередньо¨ вправи доведiть, що O(3; R) ¹ многовидом розмiрностi 3 класу C1.

Зауваження 2. Множина M = O(3; R) ортогональних матриць 3 3

крiм структури C1 многовиду ма¹ також структуру групи. При цьому

операцiя добутку M M 3 hA; Bi 7!A B 2 M i взяття оберненого

âîþ íà M, якщо для кожного t 2 ha; bi i для кожно¨ карти (U; ') â òî÷öi(t) iñíó¹ òàêå > 0, що вiдображення ' : (t ; t + ) ! Rn визначено i ¹ вiдображенням класу Ck (1 6 k 6 p).

Коректнiсть означення ¹ наслiдком узгодженостi карт атласу M: =

=( ' 1) (' ) (обмiркуйте!).

Âразi, якщо многовид M ¹ поверхнею в просторi RN , поняття гладко¨

!

криво¨ спрощу¹ться: (t) = (t) це просто гладка вектор-функцiя на

означенням).

Âзагальнiй ситуацi¨ дотичний вектор не ¹ напрямленим вiдрiзком i

Дотичний вектор зада¹мо через його представлення в картах . Цi представ-

113

лення пов'язанi спiввiдношенням:

Можна довести, що в разi вкладення M як поверхнi в RN обидва пiдходи

до означення дотичного вектора узгодженi.

Загальний пiдхiд до дотичного вектора дозволя¹ досить просто запровадити в множинi векторiв, дотичних до M â òî÷öi x0, структуру лiнiйного

Tx0 M структуру лiнiйного простору з Rn. дине, про що слiд подбати при цьому це незалежнiсть операцiй в Tx0 M вiд вибору карти в точцi x0. Â

(якобi¹ва матрицьому допомага¹ формула (1): вiдображення F ' (x0)

ця) ¹ лiнiйним iзоморфiзмом простору Rn (обмiркувати!).

Таким чином, Tx0 M ¹ лiнiйним простором розмiрностi n (дотичний простiр до M â òî÷öi x0) i при цьому ( + )' = ' + '; ( )' = '.

Вправа 2. Нехай M = O(3; R) (вправа 1 (п.6)). Нехай x0 = I (тотожня

матриця). Доведiть, що Tx0 M склада¹ться з кососиметричних матриць (по-

рядку 3). при цьому для кососиметричних матриць

A, B: [A; B] = AB BA

також кососиметрична матриця. Лiнiйнi операцi¨ та операцiя комутацi¨ ма-

.

триць задають алгебру Лi (Tx0 M алгебра Лi групи Лi M)

На диференцiйовному многовидi класу Cp коректно запроваджуються гладкi функцi¨ класу Ck äëÿ k 2 f1; 2; : : : ; pg.

114

правилом: нехай ( ) крива в M, що проходить через точку x (t0) = x i 0(t0) = X(x). Тодi (за означенням)

криво¨ (аби лише: (t0) = x; 0(t0) = X(x)) i (Xf)(x) це в точностi похiдна функцi¨ f в точцi x в напрямку вектора X(x).

Формула (2) пiдказу¹ метод перенесення операцi¨ на випадок загального многовиду.

Означення 5. Похiдною функцi¨ f уздовж векторного поля X назива¹-

ться функцiя Xf, значення яко¨ в точцi x 2 M визначено формулою:

d

(Xf)(x) = dtf (t) t=t0 ;

де крива на M, äëÿ ÿêî¨ (t0) = x; 0(t0) = X(x).

Останн¹ означення перевiримо на коректнiсть (незалежнiсть вiд вибору криво¨ ).

Вправа 3. Нехай f, g гладкi функцi¨, а X, Y векторнi поля на

многовидi M; 2 R.

Доведiть наступнi рiвностi: X(f + g) = Xf + Xg; X( f) = Xf;

X(f g) = f Xg + g Xf; (X + Y )f = Xf + Y f.

3. Зовнiшнi форми.

В цьому параграфi розглядаються виключно об'¹кти лiнiйно¨ алгебри. Множину лiнiйних функцiоналiв на дiйсному просторi L розмiрностi

n позначимо через L . Поточковi операцi¨ над лiнiйними функцiоналами перетворюють L на лiнiйний простiр. Його розмiрнiсть дорiвню¹ n.

116

Дiйсно, позначимо через базис в L. Через "k (k = 1; 2; : : : ; n) позначимо лiнiйнi функцiонали, для яких "k(x) = xk (òóò xk координата

Також ця система функцiоналiв ¹ повною. Дiйсно, для кожного ' 2

n

2 L покладемо k = '(ek). Òîäi ' = P k"k (перевiрте!). Тож f"1; : : : ; "ng

k=1

базис в L . Вiн назива¹ться дуальним по вiдношенню до базиса fekg i пов'язаний з ним спiввiдношенням: "k(ej) = jk (символ Кронекера:

ÿêùî k 6= j; kk = 1) (обмiркуйте!).

Означення 6. Функцiя !(x1; : : : ; xm) m çìiííèõ íà L назива¹ться êîñî- симетричним m-лiнiйним функцiоналом (або зовнiшньою формою степеня

m), якщо вона лiнiйна за кожним аргументом та змiню¹ знак (не змiнюючи

абсолютного значення) при переставленнi будь-яких двох аргументiв. Остання властивiсть зовнiшньо¨ форми в означеннi 6 еквiвалентна та-

êié: !(x (1); x (2); : : : ; x (m)) = ( 1) ( )!(x1; : : : ; xm). Тут пiдстановка степеня m; ( ) = 0 в разi парно¨ пiдстановки; ( ) = 1 в разi непарно¨ (обмiркуйте).

Вправа 4. Якщо !1; : : : ; !m лiнiйнi функцiонали (1-форми) на L, òî

формула

Öÿ m-форма познача¹ться: ! = !1 ^ !1 ^ : : : ^ !m.

117

Твердження 1. Зовнiшнi форми степеня m íà L за поточковими операцiями утворюють лiнiйний простiр m. dim m = Cnm (ÿêùî m 6 n) i dim m = 0, ÿêùî m > n.

Доведення. Якщо m > n, то система векторiв fx1; : : : ; xmg ¹ ëiíiéíî

залежною в L. Один з цих векторiв, скажiмо

Òîæ dim m = 0 äëÿ m > n.

Випадок m 6 n дял спрощення розглянемо лише у випадку m = 2

(загальний випадок залиша¹мо для студента).

Нехай fe1; : : : ; eng базис в L i f"1; : : : ; "ng дуальний базис в L . Доведемо, що 2-форми "i ^ "j (1 6 i < j 6 n) утворюють базис в 2 (цього

Àëå

(перевiрте!).

Зовнiшнi форми онакового степеня можна складати; зовнiшнi форми можна множити на числа. Але крiм того ¹ ще операцiя зовнiшнього добутку .

118

ßêùî ! = !1 ^ : : : ^ !k розкладна k-форма; = 1 ^ : : : ^ lрозкладна l-форма, то ! ^ за одначенням ¹ k + l-формою:

! ^ = !1 ^ !2 ^ : : : ^ !k ^ 1 ^ : : : ^ l;

(òóò !1; : : : ; !k; 1; : : : ; l 1-форми).

Óзагальному випадку, як виходить з доведеного твердження, k-форма

!може бути представлена як сума розкладних k-ôîðì ! = !(1) + : : : + !(p); l-форма = (1) + : : : + (q) (усi доданки ¹ розкладними формами). Тодi за

означенням: ! ^ = P!(i) ^ (j).

i;j

Вправа 5. 1) Перевiрте, що означення зовнiшнього добутку ¹ коректним: воно не залежить вiд розкладу форм ! та на розкладнi доданки.

2) Операцiя зовнiшнього добутку ма¹ такi властивостi: а) (! ^ ) ^ = ! ^ ( ^ ) (асоциативнiсть);

á) ( + ) ^ ! = ^ ! + ^ ! (дистрибутивнiсть) (тут та форми

однакового степеня);

â) ^ = ( 1)kl ^ (òóò k-форма; l-форма); г) ! ^ ! = 0.

Приклад. Розглянемо простiр R3

необхiдна для коректного визначення векторного та мiшаного добуткiв).

(перевiрте!). Оскiльки dim 1 = 3, то iзоморфiзм.

2

2-форму !~ визначимо формулою:

2 ! ! ! ! ! ! ! !

!~(x1; x2) = ( ; x1; x2) = ; [x1; x2] :

dim 2 = 3. Тому iзоморфiзм.

119

Вправа 6. Доведiть рiвностi в R3:

4. Диференцiальнi форми.

Нехай спочатку M область в Rn. Пiд диференцiальною формою сте -

1

пеня 1 (коротше: 1-формою) ! розумi¹мо функцiю на M, яка прийма¹ зна- чення в (Rn) . Тобто кожнiй точцi x 2 M ставимо у вiдповiдь зовнiшню

P

k=1

¹ìî: f"kgnk=1 базис в 1), то функцi¨ ak( ) (k = 1; : : : ; n) повиннi бути гладкими (класу Cp, 1 6 p 6 1).

Прикладом диференцiально¨ 1-форми ¹ похiдна (або диференцiал) функцi¨ f : M ! R. В кожнiй точцi x 2 M: f0(x) 2 (Rn) . Ця форма познача¹-

òüñÿ df. Зокрема для функцi¨ f(x) = xk (вона познача¹ться xk), f0(x) = "k

<:::<i

ai1i2:::im гладкi функцi¨ на M при всiх наборах (i1; i2; : : : ; im). Порядок гладкостi здебiльшого уточнювати не будемо.

Операцi¨ суми, добутку на константу або на функцiю та зовнiшнього добутку диференцiальних форм запроваджуються поточково (складати до-

120