4.2. Позиционные звенья

Идеальное усилительное (безынерционное) звено

Воспроизводит входной сигнал без искажения и запаздывания, но с изменением масштаба.

y=kx. (4.11)

Рассмотрим основные формы математического описания усилительного звена.

- весовая функция.

h(t) - переходная характеристика.

(4.12)

Рис.4.4

АФХ вырождается в точку, расположенную на вещественной оси на расстоянии kот начала координат. Модуль частотной передаточной функции А() =kпостоянен на всех частотах, а фазовые сдвиги равны нулю (φ()=0).

Безынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не в состоянии равномерно пропускать все частоты от 0 до ∞. Обычно к такому виду звена сводится одно из реальных звеньев, рассматриваемых ниже, например апериодическое или колебательное, если можно пренебречь влиянием динамических (переходных) процессов в этом звене.

Примерами такого звена являются механический редуктор, делитель напряжения, безынерционный (широкополосный) усилитель, потенциометрический датчик, трансформаторный датчик, вращающийся трансформатор и т.д.

Апериодическое звено первого порядка

Звено описывается дифференциальным уравнением

. (4.13)

Передаточная функция звена

(4.14)

Запишем основные формы математического описания этого звена дифференциальное уравнение, передаточную функцию, весовую функцию:

;

;

; (4.13)

Переходная (рис.4.5а) и весовая (рис.4.5б) характеристики имеют вид:

Рис.4.5, а Рис.4.5, б

Как видно из рисунков переходная и весовая функции апериодического звена представляют собой экспоненту. Постоянная времени Т определяет наклон касательной в начале кривой. Действительно для весовой функции:

.

Уравнение касательной к переходной функции в начале координат:

.

То есть величину Т можно определить по имеющейся переходной функции. Для этого проводят касательную к h(t) в начале координат, которая при значенииh(t)=k, отсекает отрезок равный Т.

Величина Т характеризует степень инерционности звена, то есть длительность инерционного процесса. Постоянная времени Т - это такой отрезок времени, в течение которого экспонента возрастает (или уменьшается) в е-раз. Практически с точностью до 5% переходный процесс считается затухшим за время t= 3T.

Изобразим ЧХ на комплексной плоскости (рис.4.6). Физический смысл имеют частоты от 0 до +, поэтому изображаем ту часть АФХ, которая лежит в этом диапазоне.

Рис.4.6

Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) для положительных частот имеет вид полуокружности с диа­метром, равным коэффициенту передачи k. Величина постоянной времени звена определяет распределение отметок частоты со вдоль кривой. На АФХпоказаны три характерные отметки ( = 0, =1/Т, = ). АФХ дляположительных частот может быть дополнена зеркальной полуокружностью для отрицательных частот (показана пунктиром). В результате полная АФХ представляет собой окружность.

Рис.4.7

Из амплитудной частотной характеристики (АЧХ) рис.4.7. видно, что колебания малых частот( < 1/Т) «пропускаются» данным звеном с отношением амплитуд выходной и входной величин, близким к статическому коэффициенту передачи звена k. Колебания больших частот ( >1/Т) проходят с сильным ослаблениемамплитуды, т. е. «плохо пропускаются» или практически совсем «не про­пускаются» звеном. Чем меньше постоянная времени Т, т. е. чем меньше инерционность звена, тем более вытянута амплитудная характеристика А() вдоль оси частот, или, как говорят, тем шире полоса пропускания частот _п у данного звена:

В инженерной практике более широко используются ЛАФЧХ, для построения которых пользуются асимптотическим способом.

ЛАФЧХ звена имеет вид:

. (4.14)

Первое слагаемое правой части в (4.14) - постоянная величина 20lgК. Следовательно, изменение величины К приводит к смещению ЛАЧХ вдоль оси ординат. Для упрощения построения ЛАЧХ положим К=1. Тогда

. (4.15)

Подставляя в полученные выражения различные значения частоты , можно получить действительный вид ЛАЧХ.

Практически значительно проще сделать аппроксимирование ЛАЧХ. С этой целью рассмотрим три диапазона изменения частоты :

1)- рассматривается Н.Ч. область.

В области низких частот:

2) - рассматривается В.Ч. область.

3)- рассматривается С.Ч. область.

- эта величина равна 3 дБ и называется поправкой.

Характеристика является функцией логарифма частоты и обращается в ноль, то есть сопрягается с характеристикой для низких частотпри частоте, называемойсопрягающей частотой.

Таким образом, выражение может быть представлено в виде двух линейных участков (рис.4.8):

при ;

при .

На основании такого подхода ЛАЧХ можно построить в виде двух отрезков прямых линий в функции логарифма от частоты.

Одна линия, соответствующая участку , параллельна оси абсцисс, другая проходит под наклоном к оси частот.

Определим наклон второй асимптоты:

при частоте :;

при частоте 10:.

Расстояние на оси частот между lgиlg10равно одной декаде, а изменениеL() за одну декаду происходит в сторону увеличения частоты:

дб.

Следовательно, наклон второй асимптоты -20 дб/дек.

Если ЛАЧХ строить точно, то это будет кривая линия. Наибольшая погрешность будет при. Величина этой погрешности будет равна:дб.

Рис. 4.8

В инженерных расчетах (ориентировочно) часто пренебрегают этой поправкой, считая, что ЛАФЧХ апериодического звена состоит из двух прямых (асимптот), изображенных на рис.4.8.

Примеры апериодических звеньев первого порядка изображены на рис.4.9.

а б в

г

Рис.4.9

На рис.4.9,а приведен пример двигателя любого типа (электрический, гидравлический, пневматический и т.д.), механические характеристики которого (зависимость вращающего момента от скорости), могут быть представлены в виде параллельных прямых рис.4.10.

Рис.4.10

Входной величиной х₁ здесь является управляющее воздействие в двигателе, например подводимое напряжение в электрическом двигателе, расход жидкости в гидравлическом двигателе и т.п. Выходной величиной является скорость вращения Ω. Дифференциальное уравнение движения при равенстве нулю момента нагрузки может быть представлено в виде:

,

где J– приведенный к валу двигателя суммарный момент инерции,k_м - коэффициент пропорциональности между управляющим воздействиемх₁и вращающим моментом,- наклон механической характеристики, равный отношению пускового момента к скорости холостого хода при некотором значении управляющего воздействия.

Это уравнение приводится к виду

,

где - коэффициент передачи звена,- постоянная времени двигателя. Уравнение полностью совпадает с уравнением (4.13).

Апериодическим звеном первого порядка является также резервуар с газом (рис.4.9,б), у которого входная величина давление Р₁перед впускным клапаном, а выходная величина - давление Р₂в резервуаре; нагревательная печь (рис.4.9,в), у которой входная величина - количество тепла, поступающего в единицу времениQ, а выходная величина - температура в печиt⁰ .

Электрические RC- иLR-цепи в соответствии со схемами, изображенными на рис. 4.9,г, также представляют собой апериодическое звено первого порядка.

Во всех приведенных примерах дифференциальное уравнение движения совпадает с уравнением (4.13).

Апериодическое звено второго порядка

Дифференциальное уравнение:

. (4.16)

При определённых значениях a₀, a₁, a₂характеристическое уравнение a₀p² + a₁p + a₂ = 0 имеет два корня. Если корни вещественные, то уравнение описываетапериодическое звено 2 порядка.Если корни комплексные -колебательное звено.

Дифференциальное уравнение апериодического звена второго порядка имеет вид:

. (4.17)

При этом корни характеристического уравнения должны быть вещественными, что будет выполняться при условии. В операторной форме записи уравнение (4.17) приобретает вид:

. (4.18)

Левая часть уравнения (4.18) разлагается на множители:

,

где

.

Передаточная функция звена

. (4.19)

Апериодическое звено второго порядка эквивалентно двум апериодическим звеньям первого порядка, включенным последовательно друг другу с общим коэффициентом передачи kи постоянными времениТ₃иТ₄.

Примером апериодического звена второго порядка является электродвигатель постоянного тока с независимым возбуждением при учете инерционности цепи якоря при отсутствии нагрузки на валу рис.4.11,а.

а б

в

Рис.4.11

Другими примерами реализации могут служить два последовательно подключенных резервуара с газом (рис.4.11,б), а также электрические RC- иLR-цепи в соответствии со схемами, изображенными на рис. 4.11, в.

Переходная функция (рис.4.12) и функция веса (рис.4.13) апериодического звена второго порядка имеют вид.

, (4.20)

Рис.4.12

, (4.21)

Рис.4.13

ЛАЧХ апериодического звена второго порядка определяется выражением:

. (4.22)

Колебательное звено

Дифференциальное уравнение колебательного звена:

. (4.23)

Звено описывается тем же уравнением, что и апериодическое звено второго порядка, но при этом коэффициент затухания . Корни характеристического уравнения колебательного звена - комплексные:

.

Передаточная функция колебательного звена имеет вид: . (4.24)

Переходная характеристика колебательного звена:

. (4.25)

Рис.4.14

Затухание колебаний частотой происходит по экспоненте. Поэтому аналогично тому, как это было принято при рассмотрении апериодического звена можно считать, что переходный процесс заканчивается за время:

.

Для передаточной функции

, где

имеем частотную передаточную функцию вида:

(4.26)

В декартовых координатах:

(4.27)

АЧХ колебательного звена представлена на рис.4.15.

Рис.4.15

Амплитудная и фазовая частотные характеристики имеют вид:

(4.28)

Логарифмическая частотная характеристика

(4.29)

Рассмотрим три диапазона частотной характеристики:

1) Пусть(Н.Ч. область).

.

2) Пусть(В.Ч. область).

- прямая с отрицательным наклоном - 40дБ/дек.

.

3) Пусть(С.Ч. область).

, где :- поправка.

.

Если:

поправка> 0 ,

поправка< 0 .

При высота резонансного пика стремится к бесконечности, а звено вырождается вконсервативноес передаточной функцией вида:. На выходе консервативного звена наблюдаются незатухающие колебания. Амплитуда колебаний на выходе консервативного звена зависит от начальных условий.

Частота , на которой истинная ЛАЧХ системы наибольшим образом отличается от асимптотической, называетсячастотой сопряжения и как для консервативного, так и колебательного звена являетсярезонансной частотой.

20lgk

0⁰1 1/Т 2

-90⁰

-180⁰

L, дБ

Рис.4.16

Примеры реализации колебательных звеньев: колебательные RLC- цепи вида (рис.4.17,а), упругие механические передачи (рис.4.17,б), гироскопические элементы и т.д.

а б

Рис.4.17

Звено с чистым запаздыванием

Звено с чистым запаздыванием описывает задержку сигнала во времени. Уравнение, описывающее это звено, имеет вид:

, (4.30)

где: - время чистого запаздывания;

k - коэффициент усиления.

Для того, чтобы получить передаточную функцию звена запаздывания, разложим y(t) в ряд Тейлора в точке t:

(4.31)

Примером звена чистого запаздывания являются акустические линии связи (где - время прохождения звука). Другим примером может служить система автоматического дозирования какого-либо вещества, перемещаемого с помощью ленточного транспортера (где- время движения ленты на определенном участке). В первом приближении определенной величиной запаздываниямогут быть охарактеризованы трубопроводы и длинные электрические линии.

Общие свойства пози­ционных инерционных звеньев

Для позиционных, инерционных звеньев характерно:

1. Они все хорошо пропускают (с усилением) низкие и плохо (с ослаблением) высокие частоты.

1. Наибольшее фазовое запаздывание наблюдается на высоких частотах.

2. При постоянном входном сигнале с течением времени при на выходе позиционного звена наблюдается амплитудное значение входного сигнала усиленное в k раз.

3. Инерционными, позиционными звеньями обычно описываются объекты управления.

Форсирующее звено

Форсирующее звено описывается дифференциальным уравнением вида:

(4.32)

Передаточная функция:

(4.33)

Частотная передаточная функция:

(4.34)

Выражение для ЛАФЧХ форсирующего звена:

. (4.35)

Рис.4.18

Форсирующее звено второго порядка описывается дифференциальным уравнением: . Его частотные характеристики - обратные ЧХ колебательного звена.

Форсирующие позиционные звенья характеризуются тем, что они хорошо пропускают (усиливают) низкие частоты, но еще лучше - высокие частоты. Форсирующие звенья вносят фазовые опережения. Они относятся к трудно реализуемым звеньям, но их стремятся включать в устройства управления (регуляторы) для обеспечения динамических свойств системы в целом.

Все рассмотренные ранее звенья относятся к устойчивым звеньям. Процессы в этих звеньях с течением времени затухают, устанавливаются на некотором постоянном, устойчивом уровне. Еще эти звенья называют -звенья с самовыравниванием. Под самовыравниванием понимается способность звена самопроизвольно приходить к новому установившемуся значению при ограниченном изменении входной величины или возмущающего воздействия. Такое поведение звеньев обусловлено тем, что характеристические уравнения этих звеньев имеют корни только с отрицательной вещественной частью. Особенностью таких звеньев является наличие минимального фазового сдвига, характеризуемого фазовой частотной характеристикой звена.

Однако существуют звенья, у которых характеристическое уравнение имеет положительные вещественные части корней. При подаче на вход таких звеньев управляющего или возмущающего воздействия возникает неограниченное возрастание выходного сигнала. Такие звенья являются неустойчивыми и называются неминимально-фазовымизвеньями.

Неминимально-фазовое звено

Рассмотрим в качестве примера звено, описываемое дифференциальным уравнением:

, (4.36)

которому соответствует передаточная функция

. (4.37)

Переходная функция такого звена представляет собой показательную функцию с положительным показателем степени:

. (4.38)

Эта функция изображена на рис.4.19.

Рис.4.19

Таким звеном может быть, например, двигатель любого типа, если его механическая характеристика, т.е. зависимость вращающего момента от скорости вращения M=f(Ω), имеет положительный наклон. На рис. 4.20 изображены разновидности механических характеристик двигателя.

Рис.4.20

В случае, соответствующем кривой 1, двигатель представляет собой устойчивое апериодическое звено первого порядка, уравнения движения которого, были рассмотрены ранее. Это звено имеет положительное самовыравнивание.

В случае, соответствующем кривой 2, когда вращающий момент не зависит от скорости вращения, уравнение движения двигателя, записанное для угловой скорости, имеет вид:

,

где J– приведенный к валу двигателя суммарный момент инерции,k_м - коэффициент пропорциональности между управляющим воздействиемх₁и вращающим моментом. Здесь скорость двигателя связана с управляющим воздействием передаточной функцией, соответствующей интегрирующему звену

.

Это звено не имеет самовыравнивания.

В случае, соответствующем кривой 3, дифференциальное уравнение движения будет

,

где k₁ – наклон механической характеристики в точке, где производится линеаризация.

Это уравнение приводится к следующему:

,

где - постоянная времени двигателя. Полученное уравнение совпадает с выражением (4.36). Звено имеет отрицательное самовыравнивание.

Признаком отрицательного самовыравнивания является отрицательный знак перед самой выходной величиной в левой части дифференциального уравнения (см. формулу 4.36) или появление отрицательного знака у свободного члена знаменателя передаточной функции (см. формулу 4.37).

Частотная передаточная функция звена:

(4.39)

(4.40)

Рис.4.21

Фазовая характеристика неминимально-фазового звена при изменении частоты меняет своё значение в пределах:. На частоте сопряжения –

По сравнению с фазовой характеристикой апериодического звена от 0^одо -90^о, фаза рассматриваемого звена- неминимальна.

ЛАФЧХ неминимально-фазового звена представлена на рис.4.22.

Системы автоматического управления, в состав которых входят неминимально-фазовые звенья, называются неминимально-фазовыми САР. В таких системах фазовое отставание труднее компенсировать, чем запаздывания, вызванные инерционностью устойчивых звеньев. Поэтому САР с неминимально-фазовыми звеньями имеют меньшее быстродействие.

Рис.4.22

Неминимально-фазовым может быть любое звено, передаточная функция которого, имеет хотя бы один корень числителя или знаменателя с положительной вещественной частью.