Лекция 6 Устойчивость сар

План лекции:

6.1.Задачи исследования устойчивости систем управления.

6.2. Постановка задачи устойчивости по Ляпунову.

6.3. Теорема А.М.Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

6.4. Устойчивость линейных САР.

6.5. Алгебраические критерии устойчивости.

6.1. Задачи исследования устойчивости систем управления.

В ходе эксплуатации САР всегда подвергается действию внешних, заранее непредсказуемых, сил, которые могут вывести ее из состояния равновесия. Если система устойчива, то выведенная из состояния равновесия под действием возмущений, при снятии возмущений, она вновь возвратится к заранее заданному состоянию или заданной траектории.

С технической точки зрения требования по устойчивости системы являются более жесткими, чем при математической постановке задачи. Техническое задание на устойчивость системы предусматривает не только саму устойчивость, но и временной интервал, в течение которого система должна восстановить состояние равновесия после приложения возмущающей силы.

Устойчивость САР - одно из основных условий ее работоспособности и включает требования затухания переходного процесса. Система с расходящимся переходным процессом неработоспособна.

Все реальные системы в технике являются нелинейными. Однако многие системы можно считать близкими к линейным и с необходимой для практики точностью проектировать их как линейные. Для этого производится линеаризация уравнений реальных звеньев системы.

Большое практическое значение имеют и существенно нелинейные системы. О них будет сказано позже.

6.2. Постановка задачи устойчивости по Ляпунову.

Впервые строгое определение устойчивости было дано А.М.Ляпуновым в 1892 г. в работе «Общая задача об устойчивости движения». Определение устойчивости А.М.Ляпунова оказалось настолько удачным и наилучшим образом удовлетворяющим многим техническим задачам, что оно в настоящее время принято как основное.

Пусть движение САР описывается системой дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши:

dх_i / dt = Fi(х₁, х₂, ... , х_n) ; (6.1)

где х_i - переменные состояния ; F_i - функции, отражающие поведение системы.

Исходное состояние системы при t = t_o однозначно определяется начальными значениями переменных х_i, которые обозначим:

х_1o, х_2o, х_3o , ... , х_no

Каждой совокупности начальных значений х_1o, х_2o, х_3o , ... , х_no соответствует единственное решение системы (6.1) для всех t > t_o :

х_i = х_i (х_1o, х_2o, х_3o , ... , х_no, t) (6.2)

Некоторое вполне определенное движение системы, соответствующее заданным начальным значениям х_1o, х_2o, х_3o , ... , х_no и подлежащее исследованию на устойчивость, называют невозмущенным движением.

Процессы в рассматриваемой системе, характеризующие невозмущенное движение, обозначим функциями х_i^(t), которые являются частным решением дифференциальных уравнений (6.1).

Изменим начальные условия, придав начальным значением х_i0 небольшие по модулю приращения х_i0 - возмущения. Движение системы, отвечающее измененным начальным условиям, называют возмущенным движением. Возмущенным движением называют всякое иное движение системы отличное от невозмущенного.

Введем новые переменные равные разности переменных х_i в возмущенном и невозмущенном движении:

х_i(t) = х_i(t) - х_i^(t) , (6.3)

Переменные х_i называют отклонениями или вариациями величины х_i.

Подставив значения х_i, соответствующие равенству (6.3) в исходные уравнения, запишем уравнение возмущенного движения по отношению к отклонениям х_i:

dх_i / dt = Fi(х₁,  х₂, ... ,  х_n), (6.4)

где Fi(х₁,  х₂, ... ,  х_n)= Fi(х₁ – х₁^, х₂ – х₂^,…, х_n – х_n^).

Формула (6.4) соответствует переносу начала координат в точку х_i^.

Невозмущенное движение х_i^(t) системы n-мерного порядка можно представить геометрически условно в n-мерном пространстве некоторой кривой (рис.6.1). Возмущенное движение х_i(t), вызванное начальными отклонениями, изобразится другой кривой.

В отклонениях кривая возмущенного движения будет будет выглядеть как показано на рис.6.2. При этом невозмущенное движение х_i^(t) изобразиться прямой линией, совпадающей с осью времени t (рис.6.2).

Рис.6.1

Рис.6.2

А.М.Ляпуновым было дано следующее определение:

Невозмущенное движение x_i*(t) будет устойчивым по отношению к переменным х_i(t), если при всяком числе ² как бы мало оно ни было, можно выбрать другое положительное число ()>0, зависящее от  так, что для всех возмущений х_i0 удовлетворяющих условию:

и при любом t > t_o будет выполняться неравенство

,

Если невозмущенное движение неустойчиво, то возмущенное движение будет отходить от него, как бы малы ни были начальные возмущения.

Если невозмущенное движение устойчиво в соответствии с данным определением и при этом возмущенное движение стремиться к невозмущенному движению:

limx_i(t)=0,

t  

то невозмущенное движение называют асимптотически устойчивым.