Лекция 5

План лекции:

5.1. Пример построения структурной схемы системы стабилизации угловой скорости вала двигателя.

5.2. Частотные характеристики замкнутых САР.

5.1. Пример построения структурной схемы системы стабилизации угловой скорости вала двигателя

Построение структурной схемы САР начинают с формирования математического описания системы (с использованием законов электротехники и механики). Введем следующие обозначения:

U - напряжение на делителе;

U₁ - напряжение на входе электронного усилителя;

U₂ - напряжение на выходе операционного усилителя;

U₃ - напряжение на выходе тахогенератора;

k_у - коэффициент усиления электронного усилителя;

k_уг - коэффициент усиления генератора;

k_утг - коэффициент усиления тахогенератора;

R,L,i - сопротивление, индуктивность и ток в обмотке генератора;

R_я,L_я,i_я - сопротивление, индуктивность и ток в обмотке якоря двигателя;

Е - ЭДС, возникающая в обмотке якоря двигателя и генератора;

с_е - коэффициент противоЭДС для двигателя;

с_м - коэффициент передачи двигателя по моменту;

• - угловая скорость вращения вала двигателя;

I - приведенный момент инерции подвижных частей системы;

М - момент сил сопротивления (нагрузки);

q - передаточное число редуктора.

Построим структурную схему в виде следующей совокупности звеньев:

Рис. 5.1

В процессе составления уравнений динамики САР систему предварительно разбивают на звенья. Затем каждое звено рассматривают отдельно. Входная и выходная величины соответствуют физическим величинам, выражающим воздействие предыдущего звена на данное звено и воздействия данного звена на последующее. Составление уравнений динамики звеньев САР выполняется с помощью фундаментальных законов областей технических наук.

Математическое описание электронного усилителя

Дифференциальное уравнение:

U₂ =k_у  U₁ , (5.1)

откуда передаточная функция усилителя:

W_у(p) = k_у , (5.2)

Математическое описание функционирования генератора

Дифференциальные уравнения функционирования генератора (в нормальной форме Коши):

(5.3)

где i - переменная состояния (фазовая координата).

Преобразуем систему уравнений (5.3):

, (5.4)

Введем обозначения Т₁= , k₁ = и перейдем к операторной форме записи, положив р=d/dt:

Т₁рЕ + Е = k₁U₂ , (5.5)

или

, (5.6)

или

, (5.7)

где - передаточная функция генератора.

Здесь Т₁= - постоянная времени звена, k₁ = - коэффициент передачи звена.

Математическое описание двигателя

Рассмотрим фрагмент структурной схемы:

Рис.5.2

На схеме: Е - регулирующее воздействие;

 - регулируемая величина;

М - возмущающее воздействие.

В нормальной форме Коши система уравнений, описывающих функционирование двигателя, имеет вид:

(5.8)

где i_я,  - переменные состояния.

С целью построения уравнений двигателя в стандартной форме преобразуем систему линейных дифференциальных уравнений (5.8) к одному дифференциальному уравнению:

, (5.9)

Из (5.9) получим первую стандартную форму записи уравнений двигателя:

, (5.10)

Вторая стандартная форма записи:

, (5.11)

где ; .

На практике индуктивность обмотки якоря много меньше индуктивности генератора, то есть , полагаем, что

0 ; Т₃  0 ; k₄  0. (5.12)

С учетом (5.10) структурная схема исполнительной подсистемы двигателя примет вид:

Рис.5.3

; (5.13)

,

где k^*₃ =k₃ /k₂ .

Математическое описание тахогенератора

Дифференциальное уравнение тахогенератора:

U₃ = k₄ , (5.14)

где k₄= k_тг .

Математическое описание обратной связи

U₂ =U – U₃ (5.15)

Используя вторые формы записи динамических звеньев, получим структурную схему САР в целом (рис.5.4).

Рис.5.4

В

М

U (-) U₂ Е 

U₃

k₄

частности, возмущающее воздействие М можно привести ко входу системы (рис.4.31):

Рис.5.5

Приводя структурную схему к единичной обратной связи, получим еще один вид (рис.5.6):

М

W_м^* (p)

U  W_p(p)

U₃

Рис.5.6

Здесь

- передаточная функция по возмущающему воздействию;

- передаточная функция разомкнутой системы.

В соответствии с рис.5.6 соотношение сигналов в изображении по Лапласу имеет вид:

(5.16)

Получим 3 основных вида передаточных функций замкнутой САР:

1. главная передаточная функция замкнутой САР (при М(t)=0)

; (5.17)

2. передаточная функция замкнутой САР по ошибке (при М(t)=0)

; (5.18)

3. передаточная функция замкнутой САР по возмущающему воздействию.

. (5.19)

5.2. Частотные характеристики замкнутых САР

В соответствии с выражением (5.17) можно записать частотную передаточную функцию замкнутой системы в виде:

. (5.20)

Тогда АФЧХ можно представить в виде:

, (5.21)

.

Согласно (5.21) запишем:

. (5.22)

Выражение (5.22) может быть преобразовано к виду:

. (5.23)

Подставив в (5.23)

(5.24)

и приравняв отдельно вещественные и мнимые части, имеем два равенства:

(5.25)

Сложив квадраты выражений (5.25) и поделив одно на другое, получим выражения для АФЧХ замкнутой системы:

(5.26)

На практике для упрощения определения А_з(ω) и φ_з(ω) используют номограммы замыкания, отвечающие зависимостям (5.26).

Таким образом, по точкам строятся частотные характеристики замкнутых САР. Существует и другое представление частотных характеристик замкнутой САР:

(5.27)

где Р(ω), Q(ω) – вещественная и мнимая частотные характеристики замкнутой системы.

Представив АФЧХ разомкнутой САР в виде зависимости:

(5.28)

И подставив (5.28) в (5.20), получим зависимости, определяющие вещественную и мнимую частотные характеристики:

(5.29)

Вещественная и мнимая частотные характеристики строятся с помощью специальных круговых диаграмм, построенных на плоскости W(jω) c координатами U и V. Вещественная характеристика является четной функцией о частоты, мнимая – нечетной функцией от частоты.

Кроме того, вещественную и мнимую частотные характеристики можно определить и по заданным АЧХ разомкнутой системы. Для этого подставим:

в (5.20) и получим:

(5.30)

откуда вещественная и мнимая частотные характеристики:

(5.31)

Аналогичным путем строятся частотные характеристики замкнутой САР по возмущающему воздействию, для чего используются соответствующие передаточные функции замкнутой системы.