Konspekt_201000 / Конспект Л7

Лекция 7

Частотные критерии устойчивости

План лекции:

7.1. Критерий устойчивости Михайлова.

7.2. Критерий устойчивости Найквиста.

7.1. Критерий устойчивости Михайлова

Рассмотрим отдельно левую часть характеристического уравнения, которая представляет собой характеристический полином:

(7.1)

Подставим в этот полином чисто мнимое значение , где ω представляет собой угловую частоту колебаний, соответствующих чисто мнимому корню характеристического уравнения. При этом получим характеристический комплекс

(7.2)

где вещественная часть будет содержать четные степени ω:

, (7.3)

а мнимая часть – нечетные степени ω:

. (7.4)

Функция и представляют собой модуль и фазу (аргумент) характеристического комплекса.

Характеристический полином (7.1) не будет иметь корней в правой полуплоскости, если полное приращение фазы или аргумента при изменении ω от 0 до ∞ равно , где n – степень полинома D(p). Следовательно, система регулирования будет устойчива. Если полное приращение аргумента окажется меньше , то система неустойчива. Покажем это.

Если все коэффициенты заданы и задано определенное значение частоты ω, то величина D(jω) изобразится на комплексной плоскости в виде точки с координатами U и V или в виде вектора соединяющего эту точку с началом координат. Если же значение частоты ω менять непрерывно от нуля до бесконечности, то вектор будет изменяться по величине и по направлению, описывая свои концом некоторую кривую (годограф), которая называется кривой Михайлова (рис.7.1).

Практически кривая Михайлова строится по точкам, причем задаются различные значения частоты ω и по формулам (7.3) и (7.4) вычисляются U(ω) и V(ω). Результаты расчетов сводятся в таблицу, по которой и строится затем кривая.

Рис.7.1

Выясним связь между видом кривой Михайлова и знаками вещественных корней характеристического уравнения. Для этого определим, чему должен равняться угол поворота φ вектора D(jω) при изменении частоты ω от нуля до бесконечности. Для этого запишем характеристический полином в виде произведения сомножителей

, (7.5)

где λ₁,…, λ_n – корни характеристического уравнения.

Тогда характеристический вектор можно представить в следующем виде:

. (7.6)

Каждая из скобок представляет собой комплексное число. Следовательно, D(jω) представляет собой произведение n комплексных чисел. При перемножении аргументы комплексных чисел складываются. Поэтому результирующий угол поворота вектора D(jω) при изменении ω от нуля до бесконечности будет равен сумме углов поворота отдельных сомножителей (7.6):

. (7.7)

Определим каждое слагаемое (7.7) в отдельности.

1. Пусть какой-либо корень, например λ₁, является вещественным и отрицательным, т.е. λ₁= - α₁, где α₁ > 0. Сомножитель в выражении (7.6), определяемый этим корнем, будет тогда иметь вид .

Построим годограф этого вектора на комплексной плоскости при изменении частоты ω от нуля до бесконечности (рис.7.2,а).

а) б)

Рис.7.2

При ω = 0 вещественная часть U = α₁, а мнимая V = 0. Этому соответствует точка А, лежащая на оси вещественных. При ω ≠ 0 вектор будет изменяться так, что его вещественная часть будет по-прежнему равна α, а мнимая часть V = ω (точка В на графике). При увеличении частоты от нуля до бесконечности конец вектора уходит в бесконечность, причем конец вектора все время остается на вертикальной прямой, проходящей через точку А, а вектор поворачивается против часовой стрелки. Результирующий угол поворота вектора φ₁ = + .

2. Пусть теперь корень λ₁ является вещественным и положительным, т.е. λ₁= + α₁, где α₁ > 0. Тогда сомножитель в выражении (7.6), определяемый этим корнем, будет иметь вид . Аналогичные построения (рис.7.2,б) показывают, что результирующий угол будет φ₁ = - . Знак минус показывает, что вектор поворачивается по часовой стрелке.

3. Пусть два корня, например λ₂ и λ₃, представляют собой комплексные сопряженные величины с отрицательной вещественной частью, т.е. . Сомножители в выражении (7.6) определяемые этими корнями, будут иметь вид .

При ω = 0 начальные положения двух векторов определяются точками А₁ и А₂ (рис.7.3,а).

а) б)

Рис.7.3

Первый вектор повернут относительно оси вещественных по часовой стрелке на угол , а второй вектор – на тот же угол против часовой стрелки. При увеличении ω от нуля до бесконечности концы обоих векторов уходят кверху в бесконечность и оба вектора в пределе сливаются с осью мнимых.

Результирующий угол поворота первого вектора . Результирующий угол поворота второго вектора . Вектор, соответствующий произведению , повернется на угол .

4. Пусть те же комплексные корни имеют положительную вещественную часть, т.е. . Проводя построения, аналогичные предыдущим (рис.7.3,б), можно получить, что результирующий угол поворота вектора, соответствующего произведению двух сомножителей, будет .

Таким образом, если характеристическое уравнение будет иметь l корней с положительной вещественной частью, то, каковы бы ни были эти корни (вещественные или комплексные), им будет соответствовать сумма углов поворотов, равная . Все же остальным (n-l) корням характеристического уравнения, имеющим отрицательные вещественные части, будет соответствовать сумма углов поворотов, равная . В результате общий угол поворота вектора D(jω) при изменении частоты ω от нуля до бесконечности, согласно (7.7) будет:

. (7.8)

Этим выражением и определяется искомая связь между формой кривой Михайлова и знаками вещественных частей корней характеристического уравнения.

Для устойчивости системы n-порядка необходимо и достаточно, чтобы вектор D(jω), описывающий кривую Михайлова, при изменении частоты ω от нуля до бесконечности имел угол поворота .

Эта формулировка вытекает непосредственно из выражения (7.8). Для устойчивости системы необходимо, чтобы все корни лежали в левой полуплоскости, т.е. должно быть . Отсюда определяется требуемый результирующий угол поворота вектора.

Кривая Михайлова для устойчивых систем всегда имеет плавную спиралевидную форму, причем конец ее уходит в бесконечность в том квадранте комплексной плоскости, номер которого равен степени характеристического уравнения n (рис.7.4). Число квадрантов, большее чем n, кривая Михайлова вообще не может пройти. Поэтому неустойчивость системы всегда связана с тем, что в кривой Михайлов нарушается последовательность прохождения квадрантов, вследствие чего угол поворота вектора D(jω) оказывается меньшим чем (рис.7.5).

Наличие границы устойчивости всех трех типов может быть определено по кривой Михайлова следующим образом.

Рис.7.4. Рис.7.5.

В случае границы устойчивости первого типа (нулевой корень) отсутствует свободный член характеристического полинома и кривая Михайлова идет из начала координат (рис.7.6,а).

а) б) в)

Рис.7.6.

При границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости) левая часть характеристического уравнения, т.е. характеристический полином, обращается в ноль при подстановке :

, (7.9)

откуда вытекают два равенства:

(7.10)

Это значит, что точка на кривой Михайлова попадает в начало координат (рис.7.6,б). При этом величина - частота незатухающих колебаний системы.

Для границы устойчивости третьего типа (бесконечный корень) конец кривой Михайлова перебрасывается, как показано на рис. 7.6, в. При этом коэффициент характеристического полинома (7.1) будет проходить через нулевой значение, меняя знак плюс на минус.

Отметим, что все остальные корни характеристического уравнения должны иметь отрицательные вещественные части.

Применим критерия Михайлова для определения устойчивости следящей системы, имеющей характеристический полином вида:

D(p) = T₁ ·T₂ p³ +(T₁ +T₂)p² + p + K

и характеристический комплекс

.

Вещественная и мнимая части:

Примерный вид кривой Михайлова приведен на рис.7.7.

Рис.7.7.

7.2. Критерий устойчивости Найквиста

Передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в виде:

(7.11)

причем степень числителя не может быть выше степени знаменателя, m≤n. При подстановке p=jω получается частотная передаточная функ­ция разомкнутой системы

(7.12)

Частотная передаточная функция разомкнутой системы представляет собой комплексное число. Представим себе систему регулирова­ния в разомкнутом состоянии в виде некоторого звена с передаточной функцией W (р) (рис. 7.8).

Рис. 7.8

Если на вход этого звена подавать сигнал ошибки в виде гармонических колебаний х = X_max sin ωt с амплитудой X_max и частотой ω, то в установившемся режиме на выходе регулируемая величина будет изменяться также по гармоническому закону y = Y_max sin (ωt +φ) с амплитудой Y_max , той же частотой ω и фазовым сдвигом φ. Модуль частотной передаточной функции представляет собой отношение амплитуд выходной и входной величин:

а аргумент — сдвиг фаз φ.

Если изменять частоту входного воздействия от - ∞ до + ∞ и откладывать на комплексной плоскости точки, соответствующие получающимся комплексным числам, то геометрическое место этих точек образует амплитуд­но-фазовую характеристику разомкнутой системы (рис.7.9).

Рис.7.9

Ветвь этой характеристики, соответствующая отрицательным частотам является зеркальным отражением ветви, соответствующей положительным частотам, относительно вещественной оси.

На амплитудно-фазовой характеристике для удобства могут отмечаться точки, соответствующие определенным частотам, например ω₁, ω₂, ω₃ и т.д. Вдоль кривой иногда рисуют стрелки, которые показывают направление возрастание частоты ω (рис. 7.9).

В реальных системах всегда удовлетворяется условие m < n. Поэтому при частоте, стремящейся к бесконечности, модуль частотной передаточной функции стремится к нулю и точка с частотой ω → ± ∞ попадает в начало координат.

Сформулируем достаточные и необходимые требования к амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы, при выполнении которых система автоматического регулирования в замкнутом состоянии будет устойчивой.

Ограничим задачу: будем рассматривать только передаточные функции (7.11), которые соответствуют статическим системам.

Это значит, что знаменатель (7.11) не будет иметь в качестве множителя оператор р. Кроме того, будем пока рассматривать только устойчивые в разомкнутом состоянии системы. Это значит, что полюсы выражения (7.11), т. е. корни уравнения

(7.12)

лежат в левой полуплоскости.

Введем в рассмотрение вспомогательную функцию

(7.13)

где числитель

(7.14)

представляет собой характеристический полином системы.

Сделаем подстановку р =jω и найдем комплекс

(7.15)

Будем теперь изменять частоту от -∞ до +∞ и изобразим получив­шуюся амплитудно-фазовую характеристику W₁(jω) на комплексной плоско­сти (рис 7.10,а).

Рис. 7.10

Рассмотрим результирующий угол поворота вектора W₁(jω) при изменении частоты от -∞ до +∞. Этот угол представляет собой изменение аргумента (7.15), который по правилу деления комплексных чисел равен разности аргументов числителя φ₁ и знаменателя φ₂:

.

Числитель (7.15) представляет собой характеристический комплекс. Если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоско­сти, то при изменении частоты от -∞ до + ∞ аргумент D (jω) изменится на величину φ₁ = пπ, где п — степень характеристического полинома. При построении кривой Михайлова результирующий угол поворота был равен , но там частота изменялась от 0 до +∞.

Знаменатель (7.15) представляет собой комплекс той же степени n, причем по предположению все корни (7.12) лежат в левой полуплоскости.

Поэтому результирующий угол поворота вектора Q (jω) при изменении частоты от -∞ до + ∞ будет равен φ ₁ = пπ.

Отсюда следует, что в рассматриваемом случае результирующий угол поворота вектора W₁ (jω) будет равен нулю: φ = φ ₁₊ φ ₂ = 0. Это означа­ет, что для устойчивой в замкнутом состоянии системы годограф вектора W₁ (jω) не должен охватывать начала координат (рис. 7.10, а).

Частотная передаточная функция W (jω) отличается от вспомогательной функции W₁ (jω) на единицу. Поэтому можно строить амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы по выражению (7.12), что проще. Но в этом случае амплитудно-фазовая характеристика не должна охватывать точку с координатами (-1, j0). Это является достаточным и необходимым условием того, чтобы система была устойчивой в замкнутом состоянии (рис. 7.10, б).

При определении устойчивости достаточно построить амплитудно-фазо­вую характеристику только для положительных частот, так как ее ветвь, соответствующая отрицательным частотам, может быть легко получена зер­кальным отображением относительно оси вещественных.

Рис. 7.11

На рис. 7.11, а изображен случай так называемой абсолютно устойчи­вой системы. Этот термин означает, что система остается устойчивой при любом уменьшении коэффициента усиления разомкнутой цепи. Напомним, что передаточная функция разомкнутой статической системы может быть представлена в виде

Нетрудно видеть, что уменьшение общего коэффициента усиления К при­водит к уменьшению модуля (7.12), а это в случае, изображенном на рис. 7.11, а, не может привести к охвату годографом точки (—1, 0).

На рис. 7.11, б изображен случай так называемой условно устойчивой системы. Здесь система будет устойчивой при значении общего коэффициента усиления, лежащем в некоторых пределах. Как увеличение, так и уменьше­ние общего коэффициента усиления К может привести к охвату годографом точки (—1, j0), что будет соответствовать неустойчивости системы в замкну­том состоянии.

На рис. 7.11, в изображен случай, когда система находится на границе устойчивости. Граница устойчивости будет колебательного типа. Это вытека­ет из того, что при некоторой частоте, при которой годограф пересекает точку (—1, j0), имеет место равенство W ( jω) = -1 + j0, что может быть записано в виде

Последнее выражение представляет собой характеристическое уравне­ние, которое обращается в нуль при подстановке р = jω. Таким образом, чисто мнимый корень является решением характери­стического уравнения.

На рис. 7.11, г изображен случай неустойчивой системы.

Обратимся теперь к передаточной функции разом­кнутой системы, соответствующей астатизму первого порядка. В этом случае передаточная функция может быть изображена в виде

Будем предполагать, что все корни знаменателя передаточной функции (кроме нулевого корня р = 0) лежат в левой полуплоскости, т. е. в разомкнутом состоянии система является нейтрально устойчивой.

Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы будет иметь разрыв непрерывности в точке ω = 0. В этой точке модуль А (0) → ∞, а фаза делает скачок на 180°. Для получения определенности в ходе амплитудно-фазовой характеристики необходимо отнести нулевой корень знаменателя передаточной функции W (р) либо к левой, либо к правой полуплоскости корней (рис. 6.3). Первое является более удобным, так как при этом все корни знаменателя W (р) будут расположены в левой полуплоскости.

Рис.7.12

Для выполнения сказанного поступают следующим образом. При изме­нении частоты от - ∞ до + ∞ происходит движение на плоскости корней вдоль оси мнимых снизу вверх (рис. 7.12). В начале координат расположен нулевой корень. Обойдем этот корень по полуокружности бесконечно малого радиуса так, чтобы корень остался слева. При движении по этой полуокруж­ности против часовой стрелки независимая переменная р меняется по закону

где ρ → 0 представляет собой радиус полуокружности, а φ — аргумент, меняющийся от – π/2 до + π/2. При этом передаточная функция W (р) может быть представлена в виде

где R → - ∞, а аргумент (-φ) меняется в пределах от + π/2 до - π/2

Таким образом, во время движения по полуокружности бесконечно малого радиуса передаточная функция может быть представлена в виде вектора бесконечно большой длины, поворачивающегося на комплексной плоскости по часовой стрелке на угол, равный π (от π/2 до –π/2) , что соответ­ствует полуокружности бесконечно большого радиуса.

На рис. 7.13 изображена амплитудно-фазовая характеристика абсолютно устойчивой системы с астатизмом первого порядка. Характеристика начи­нается в начале координат при ω → - ∞ и затем уходит в бесконечность при ω → ∞ (верхняя ветвь). Далее характеристика дополняется полуокруж­ностью бесконечно большого радиуса так, чтобы вектор W(jω) повернулся по часовой стрелке на угол π. Нижняя ветвь характеристики соответствует изменению частоты от 0 до +∞.

Нетрудно видеть, что характеристика не охватывает точку (-1, j0), и система в замкнутом состоянии будет устойчивой.

Амплитудно-фазовые характеристики для условно устойчивой системы, для случая колебательной границы устойчивости и случая неустойчивой

Рис. 7.13

системы будут похожими на изображенные на рис. 7.11, б, в и г кривые, за тем исключением, что при ω → ∞ характеристика будет уходить в беско­нечность в соответствии с нижней ветвью характеристики, изображенной на рис. 7.13.

Аналогичными рассуждениями можно показать, что для системы с аста­тизмом второго порядка, имеющей передаточную функцию вида:

при обходе двойного нулевого корня в начале координат (см. рис. 7.12) передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена векто­ром бесконечно большой длины, поворачивающимся по часовой стрелке на угол 2π.

На рис. 7.14 изображена амплитудно-фазовая характеристика абсолютно устойчивой системы при наличии астатизма второго порядка. Так же как и ранее, здесь можно получить условную устойчивость (рис. 7.14), колеба­тельную границу устойчивости, если характеристика пройдет через точку (-1, j0), и неустойчивость, если характеристика будет охватывать точку (-1, j0).

Рис.7.14

Обобщая проведенные рассуждения, получаем, что для определения устойчивости системы с астатизмом любого порядка достаточно построить только одну ветвь амплитудно-фазовой характеристики, соответствующую положительным частотам, которая должна быть дополнена окружностью бесконечно большого радиуса. При этом для устойчивой в замкнутом состоя­нии системы эта ветвь вместе с частью окружности, заключенной между положительной полуосью вещественных и амплитудно-фазовой характери­стикой, соответствующей положительным частотам, не должна охватывать точку (-1, j0) в соответствии с рис. 7.15.

Из рисунка 7.15 следует, что абсолютная устойчивость может быть получена при степени астатизма r ≤ 2. При большей степени астатизма может быть получена только условная устойчивость.

Обратимся теперь к более общему случаю, когда знаменатель переда­точной функции разомкнутой системы с любой степенью астатизма содержит корни, лежащие в правой полуплоскости. Это соответствует неустойчивой в разомкнутом состоянии системе.

Появление неустойчивости разомкнутой системы может вызываться двумя причинами. Во-первых, это может быть следствием наличия неустойчи­вых звеньев. Во-вторых, это может быть следствием потери устойчивости звеньев, охваченных положительными или отрицательными обратными связями.

Рис.7.15