Konspekt_201000 / ЛекУТС15

Системы управления при случайных воздействиях

План лекции:

1. Прохождение нестационарного случайного сигнала через нестационарную систему.

2. Прохождение стационарного случайного сигнала через стационарную систему.

3. Пример определения параметров случайного сигнала на выходе линейной системы.

1. Прохождение нестационарного случайного сигнала через нестационарную систему

Полной характеристикой, описывающей линейную систему является весовая функция этой системы . Если ко входу системы приложен сигнал при нулевых начальных условиях, то сигнал на выходе описывается соотношением:

. (1)

Причем для физически реализуемых систем при .

Следовательно, если на входе системы будет случайный сигнал , то на выходе системы будет случайный сигнал , определяемый тем же соотношением (1).

Пусть задано математическое ожидание и корреляционная функция сигнала на входе системы:

, (2)

, (3)

где - означает комплексно сопряженную функцию.

Определим математическое ожидание и корреляционную функцию сигнала на выходе. Применим равенство (1). Учитывая возможность перестановок операций определения математического ожидания, интегрирования и умножения на неслучайный множитель получим:

. (4)

Аналогичным образом для центрированной случайной величины получим:

. (5)

Учитывая данное выражение можно записать

, (6)

где черта над переменной обозначает комплексно-сопряженную функцию.

Применяя к уравнению (6) оператор вычисления математического ожидания, получим

, (7)

где - корреляционная функция сигнала на выходе системы.

Подобным же образом можно вычислить взаимную корреляционную функцию между сигналами на входе и выходе системы:

.

Дисперсия сигнала на выходе линейного звена определяется как значение корреляционной функции при одинаковых значениях аргумента:

. (8)

2. Прохождение стационарного случайного сигнала через стационарную систему

Рассмотрим случай стационарной линейной системы при воздействии на нее стационарного случайного сигнала (т.е. параметры системы и сигнала не зависят от времени).

В этом случае формулы (2) и (3) принимают вид:

, .

Уравнение (4) при этом значительно упрощается

.

Произведем замену переменной . Получим:

.

Проведя такую же замену для корреляционной функции получим:

.

Введем новые переменные , и окончательно запишем

.

3. Пример определения параметров случайного сигнала на выходе линейной системы

Поведение системы стабилизации самолета определяется весовой функцией

К системе приложено стационарное случайное возмущение (ветер) с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией

.

Найдем корреляционную функцию и дисперсию сигнала на выходе системы при .

Подставляя значения корреляционной и весовой функций в формулу (7) можно записать

.

Положим, что t₂> t₁ и приведем интеграл этот интеграл к виду

.

Интегрируя, получим

при .

Аналогично можно найти корреляционную функцию при .

В соответствии с (8) найдем дисперсию

,

.