ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Лекция 19. Математические модели цифровых систем

План лекции:

1. Решетчатые функции и разностные уравнения.

2. Квантователь с конечной шириной импульсов.

3. Идеальный квантователь.

1. Решетчатые функции и разностные уравнения

Введем понятие решетчатой функции времени или , значения которой определены в дискретные моменты времени , где - целое число; - период повторения (квантования).

Операцию замены непрерывной функции решетчатой можно представить в виде:

.

Дискреты могут также определяться и для смещенных моментов времени:

,

где ; .

Смещение может быть положительным или отрицательным, но обязательно выполнение условия или .

Рис.1. К понятию решетчатой функции.

Задача формирования непрерывной функции из решетчатой не может быть решена однозначно поскольку функции, заданной в дискретные моменты времени, может соответствовать бесконечное множество непрерывных функций. Непрерывные функции совпадающие с заданными дискретами называются огибающими решетчатой функции.

Теорема Котельникова устанавливает необходимое и достаточное условие выбора частоты квантования при которой непрерывную функцию можно восстановить по ее дискретным выборкам. Для этого частота квантования должна в два раза превосходить максимальную частоту спектра квантуемого сигнала.

Аналогом первой производной непрерывной функции для решетчатой функции является первая прямая или первая обратная разность

- прямая разность,

- обратная разность.

Аналогичные формулы могут быть записаны и для смещенной решетчатой функции.

Обратная разность обладает важной особенностью: если решетчатая функция определена только для положительного значения аргумента, т.е. при , то в точке k-ая разность для любого целого положительного .

Аналогом интеграла непрерывной функции в пределах от 0 до для решетчатой функции является неполная и полная суммы.

- неполная сумма,

- полная сумма.

Аналогичным образом могут быть определены разности и суммы высших порядков.

В качестве аналога дифференциальных уравнений можно рассматривать разностные уравнения, которые могут быть записаны в виде:

,

где - заданная решетчатая функция;

- искомая решетчатая функция.

Если вместо конечных разностей подставить их аналитические выражения, то можно перейти к следующей форме записи.

.

В качестве примера рассмотрим уравнение второго порядка

.

Запишем выражения для разностей

,

.

Подставляя, получим

,

,

где ; ; .

Аналогично можно записать разностные уравнения и с прямыми разностями.

2. Квантователь с конечной шириной импульсов

Квантователь осуществляет получение решетчатой функции из исходной непрерывной. Выходной сигнал квантователя с постоянным периодом и конечной шириной импульсов, получаемый при входном сигнале , может быть рассмотрен как произведение входного сигнала и несущего сигнала , который является последовательностью единичных импульсов с периодом Т.

Несущий сигнал можно представить в виде

,

где - единичная ступенчатая функция, - коэффициент заполнения импульсов.

Тогда выход квантователя можно записать в виде

, (1)

Выражение (1) представляет описание во временной области соот­ношения вход-выход для квантователя с постоянным периодом и конеч­ной длительностью импульсов.

Поскольку последовательность единичных импульсов r(1) является периодической функцией с периодом Т, она может быть представлена в виде ряда Фурье

,

где - частота квантования, рад/с,

С_n — коэффициенты ряда Фурье в комплексной форме, определяемые как

.

Учитывая свойства амплитудно-импульсной модуляции это соотношение принимает вид

.

используя известное тригонометрическое соотношение, запишем

.

В результате сигнал может быть представлен в виде

.

Преобразование Фурье сигнала может быть получено в виде

. (2)

Используя теорему о смещении преобразования Фурье в области комплексной переменной это соотношение может быть записано как

. (3)

Важность рассмотрения операции квантования в частотной области иллюстрируется следующим исследованием соотношения (3).

Определим коэффициент ряда Фурье в соотношении (3) при п ->0 и возьмем составляющую ряда, соответствующую n=0:

.

Последнее выражение иллюстрирует важное свойство: гармоники, содержащиеся в непрерывном входном сигнале представлены и в выходном сигнале квантователя, однако их амплитуды отличаются в раз. Для получения n-ной составляющей выходного спектра необходимо умножить спектр исходного непрерывного сигнала на соответствующий коэффициент ряда Фурье и сдвинуть его на .

Основная полоса частот передает всю информацию, содержащуюся в исходном непрерывном сигнале. Следовательно, при выполнении теоремы Котельникова исходный сигнал может быть восстановлен при помощи идеального фильтра низких частот. В случае, если условия теоремы Котельникова не выполняются, дополнительные полосы будут накладываться на основную и восстановление исходного сигнала невозможно.

Преобразование Фурье квантованного сигнала определяемое рассмотренными соотношениями, весьма полезно для иллюстрации эффектов квантования в частотной области. Однако эти выражения не удобны для аналитического исследования, так как представлены в виде бесконечных рядов.

Альтернативное описание квантованного сигнала в области изображений можно получить с помощью теоремы о свертке в преобразовании Лапласа. Преобразование Лапласа для запишем в виде

где символ * означает операцию свертки в преобразовании Лапласа; - изображения по Лапласу соответствующих функций.

Определим изображение по Лапласу функции r(t):

.

Данный бесконечный ряд можно записать в компактной форме

.

Подставляя. R(s) из последнего уравнения в выражение (2), и используя теорему свертки по­лучим

,

где - переменная интегрирования.

Для вычисления данного интеграла с помощью теоремы о вычетах необходимо знать нули и полюсы функций .

Функция имеет простые полюсы

. (4)

Из выражения (4) следует, что число полюсов бесконечно, и они расположены на комплексной плоскости вдоль прямой .

Если предположить, что является рациональной функцией с k простыми полюсами, то можно получить

,

где , , - n-ный полюс .

3. Идеальный квантователь

Идеальный квантователь. Если ширина импульса много меньше периода квантования и наименьшей постоянной времени входного сигнала, выходной сигнал квантователя может быть представлен в виде

.

Преобразуя это уравнение по Лапласу, получим

.

Это уравнение можно представить в другой форме

.

При известных нулях и полюсах функции можно записать

.

Библиографический список

Основная литература

1. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического управления / В.А.Бесекерский,Е.П.Попов .— 4-е изд.,перераб.и доп. — СПб. : Профессия, 2003 .— 752с. (20 экз)

2. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического управления: [Учебное издание] / В.А.Бесекерский,Е.П.Попов .— 4-е изд.,перераб.и доп. — СПб. : Профессия, 2004 .— 752с. (148 экз.)

Дополнительная литература

1. Бесекерский, В.А. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления : учеб.пособие для вузов / В. А. Бесекерский [и др.] ; под ред. В. А. Бесекерского .— 5-е изд., перераб. и доп. — М. : Наука, 1978 .— 510 с. (21 экз.)

2. Никулин Е.А. Основы теории автоматического управления. Частотные методы анализа и синтеза систем : учеб.пособие для вузов / Е.А.Никулин .— СПб. : БХВ-Петербург, 2004 .— 640с. (3 экз.)

3. Пупков К.А. Методы классической и современной теории автоматического управления. Т.1, Математические модели,динамические характеристики и анализ систем автоматического управления/К.А.Пупков [и др.];под ред.К.А.Пупкова,Н.Д.Егупова : учебник для вузов:в 5 т. — 2-е изд.,перераб.и доп. — М. : МГТУ им. Баумана, 2004 .— 656с. (12 экз.)

4. Ким, Д.П. Теория автоматического управления. Т.2, Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы : учеб.пособие для вузов / Д.П.Ким .— М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004 .— 464с. (2 экз.)

5. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы : учеб.пособие для вузов / И.В.Мирошник .— М.[и др.] : Питер, 2005 .— 336с. (5 экз.)

6. Певзнер Л.Д. Практикум по теории автоматического управления : учеб.пособие для вузов / Л.Д.Певзнер .— М. : Высш.шк., 2006 .— 590с. (2 экз.)

7. Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления. Линейные системы : учеб. пособие для вузов / Д. П. Ким, Н. Д. Дмитриева.— М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007 .— 168 с. (3 экз.)

8. Юревич Е.И. Теория автоматического управления: учебник для вузов / Е.И.Юревич .— 3-е изд. — СПб.: БХВ-Петербург, 2007 .— 560с. (1 экз.)