Konspekt_201000 / ЛекУТС13

Нестационарные системы управления и их математические модели

План лекции:

1. Процессы управления в системах с переменной структурой.

2. Основы расчета систем с переменной структурой.

1. Процессы управления в системах с переменной структурой

Переменная структура дает значительные возможности при формировании желаемых характеристик процесса управления. Рассмотрим систему, показанную на рис.1.

Рис.1. Система с переключением структуры.

Пусть линейная часть описывается передаточной функцией

,

а переключаемые звенья описываются коэффициентами усиления k₁ и –k₁ соответственно, т.е. переключение структуры состоит в изменении знака сигнала.

Обозначим , и примем переключающую функцию в виде

Тогда уравнения замкнутой системы при отсутствии внешнего воздействия примут вид

(1)

Согласно этим уравнениям линиями переключения будут ось y и прямая

. (2)

Согласно (1) в области, где (т.е. в правой полуплоскости над прямой (2), а в правой – под ней), фазовые траектории будут эллипсами. В остальных областях, где , фазовые траектории будут гиперболами. Соответствующая картина фазовых траекторий показана на рис.2.

Рис.2. Фазовые траектории системы с переменной структурой.

Из рисунка видно, что все фазовые траектории встречаются на линии переключения .

Это можно трактовать следующим образом. Пусть процесс идет по какой-либо фазовой траектории, которая упирается в линию переключения. Как только изображающая точка пересечет линию переключения, процесс пойдет по новой фазовой траектории также приходящей на линию переключения, но уже чуть ближе к началу координат. Такой ход процесса соответствует колебаниям около линии переключения с частотой стремящейся к бесконечности и амплитудой стремящейся к нулю. Следовательно, с теоретической точки зрения изображающая точка скользит по линии переключения к началу координат т.е. к равновесному состоянию. Процесс такого рода называется скользящим процессом.

Поскольку изображающая точка будет двигаться к началу координат по линии переключения, то переходный процесс приближенно можно описать уравнением

.

Интегрируя, получим

.

Важной особенностью скользящего процесса является то, что его форма не зависит от параметров основной части системы k и k₁, а определяется только параметром с переключающего устройства.

2. Основы расчета систем с переменной структурой

В системе с переменной структурой возможны различные типы процессов. Однако особый интерес представляет такое формирование управляющего устройства, которое реализует скользящий процесс. Преимущество такого процесса состоит в том, что его форма не зависит от параметров основной части системы и ему можно придать желаемые свойства. Общая схема системы с переменной структурой показана на рис.3.

Рис.3. Система с переменной структурой.

Пусть динамика основной части системы (объект управления и исполнительное устройство) при отсутствии внешних воздействий описывается уравнением:

, (3)

где - регулируемая величина,

u - управляющий сигнал на исполнительном устройстве.

Введем обозначения:

, , …, . (4)

Тогда уравнение (3) можно записать в следующем виде:

Функцию управления переключением структуры, формируемую в логическом управляющем устройстве, выберем в виде

, (5)

где и - постоянные коэффициенты, причем , а переменная является линейной функцией переменных состояния (4):

, , . (6)

В соответствии с (5) и (6) переключения будут происходить при

(7)

Условие возникновения скользящего процесса состоит в том, чтобы фазовые траектории встречались на гиперплоскости переключения, подходя к ней с обеих сторон, или принадлежали бы этой гиперплоскости (7).

Следовательно требуется, чтобы с одной стороны гиперплоскости переключения (7), где производная была бы неположительной, а с другой стороны гиперплоскости где производная была бы неотрицательной.

Это условие возникновения скользящего процесса можно записать в виде:

, . (8)

Определим вид дифференциального уравнения, которым описывается скользящий процесс. Согласно уравнениям (4), (6), (7) получим для скользящего процесса следующую систему уравнений

, , (9)

Из этой системы уравнений видно, что ее порядок по сравнению с исходными уравнениями понижается на единицу. Кроме того, в уравнения (9) входят только параметры управляющего устройства, поэтому форма скользящего процесса не зависит от параметров основной части системы, т.е. от коэффициентов .

Т.о. организуя скользящий процесс в системе с переменной структурой можно придать этому процессу желаемые свойства путем выбора значения коэффициентов управляющего устройства.

Из анализа пределов (8) можно получить следующие необходимые и достаточные условия существования скользящего процесса в рассматриваемой системе.

(10)

.

Устойчивость движения системы по гиперплоскости переключения определяется из следующего уравнения:

.

где определяется уравнением основной части системы

.

Запишем характеристическое уравнение полученной системы:

. (11)

Для устойчивости движения системы по гиперплоскости переключения необходимо и достаточно чтобы все корни характеристического уравнения (11) кроме одного имели отрицательные вещественные части.

В качестве примера рассмотрим систему третьего порядка.

, , .

Причем,

,

где

Т.е. , , , , .

Подставляя эти значения в систему уравнений (10) получим условия существования скользящего процесса:

, , . (12)

Уравнения скользящего процесса в данном случае будут иметь второй порядок

, .

Выбором коэффициентов и , не нарушающим условие существования скользящего процесса, его форме можно придавать желаемые свойства.

Для устойчивости системы в скользящем процессе необходимо, чтобы и . Это не противоречит условиям его существования (12).

Исследуем устойчивость движения системы по гиперплоскости скольжения. Согласно (11) получим следующее характеристическое уравнение:

.

Найдем корни этого уравнения

, .

Здесь только один корень положительный остальные два имеют отрицательные вещественные части, следовательно, движение системы по гиперплоскости скольжения устойчиво.