Konspekt_201000 / Конспект Л8

Лекция 8

Анализ устойчивости САР

План лекции:

8.1. Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам.

8.2. Построение областей устойчивости. D-разбиение.

8.1. Определение устойчивости

по логарифмическим частотным характеристикам

Для определения устойчивости по критерию Найквиста можно строить не амплитудно-фазовую характеристику, а логарифмическую амплитудную частотную характеристику (л.а.х.) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (л.ф.х.) разомкнутой системы.

Построение л.а.х. производится по выражению

L(ω)=20 lg A (ω)= 20 lg | W (jω)|,

где А(ω)-модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы (7.12)

Построение л.ф.х. производится по значению ψ(ω) частотной nepeдаточной функции (7.12). Для построения л.а.х. и л.ф.х. удобно использовать стандартную сетку.

Наиболее простое построение получается, если передаточную функцию разомкнутой системы можно свести к виду

При подстановке p=jω получаем

(8.1)

Фаза (аргумент) частотной передаточной функции

(8.2)

На основании (8.1) и (8.2) можно легко, без дополнительных вычислений построить асимптотическую л.а.х., для чего на стандартной сетке (рис. 8.1) наносятся вертикальные прямые при сопрягающих частотах и . Для определенности построения возьмем передаточную функцию разомкнутой системы с астатизмом первого порядка в виде

,

Рис.8.1

которой соответствует выражение для модуля в логарифмических единицах:

(8.3)

Примем, что выполняется условие Т₁ > Т₂ > T₃. Тогда для сопрягающих частот (рис. 8.1) будет выполнено условие ω₁ < ω₂ < ω₃.

Построение асимптотической л.а.х. начинается с области низких частот. Если частота меньше первой сопрягающей частоты: ω<<ω₁ то выражение (8.3) приобретает вид , которому соответствует прямая с отрицательным наклоном 20 дб/сек, проходящая через точку А с координатами ω = 1 сек^-1, L(ω) = 20 lg K_υ и через точку Е с координатами ω=K_υ, L(ω)=0. Эту прямую (первую асимптоту) необходимо провести в низкочастотной области до первой сопрягающей частоты (точка В). Если эта сопрягающая частота соответствует постоянной времени, находящейся в знаменателе (8.1), то необходимо «изломать» л.а.х. на 20 дб/дек вниз, т. е. провести следующую асимптоту с наклоном, большим на 20 дб/дек. Если эта сопрягающая частота соответствует постоянной времени, находящейся в числителе (8.1), то соответственно необходимо «изломать» л.а.х. на 20 дб/дек вверх.

В соответствии с выражением (8.3) для рассматриваемого примера в точке В необходимо «изломать» л.а.х. на 20 дб/дек вниз, в точке С – на 20 дб/дек вверх и в точке D - на 40 дб/дек вниз. Таким образом, последняя высокочастотная асимптота в рассматриваемом примере будет иметь отрицательный наклон 60 дб/дек.

Аналогичное построение л.а.х. может быть сделано при любом порядке астатизма. Разница будет заключаться в наклоне первой низкочастотной асимптоты, который должен быть равен r·20 дб/дек. Эта асимптота может быть построена по одной точке с координатами ω = 1 сек^-1 и L(ω) = 20 lg K_r или по точке пересечения асимптоты с осью частот (осью нуля децибел), которая имеет координаты и L(ω)=0.

Выражение для фазового сдвига (8.2) в рассматриваемом примере приобретает вид

φ(ω)= - 90⁰–arctgωT₁+arctgωT₂ - 2arctgωT₃= - 90⁰+φ₁+φ₂+2φ₃ (8.4)

Каждый из углов ψ₁,ψ₂, ψ₃ представляет, по сути дела, одну и ту же зависимость фазового сдвига апериодического звена первого порядка от частоты. Поэтому достаточно построить, например, только зависимость φ₁=-arctgωT₁(см. рис. 8.1). Все остальные слагаемые получаются простым сдвигом этой фазовой характеристики так, чтобы при соответ­ствующей сопрягающей частоте иметь фазовый сдвиг 45°. При этом необходимо учитывать знак каждого, слагаемого (8.4).

Логарифмическая характеристика разомкнутой системы может не сводиться к выражению (8.1). Если числитель или знаменатель передаточной функции разомкнутой системы содержит комплексные корни, то в выражениях (8.1) и (8.2) появятся члены, имеющие соответственно вид и .

В этом случае для построения л.а.х. удобно выделить члены, соответствующие комплексным корням. Так, например, если в простой последовательной цепи звеньев содержится колебательное звено, то вместо выражения (8.1) можно записать

.

Первое слагаемое последнего выражения строится описанным выше путем. Для построения второго слагаемого можно использовать кривые, приведенные в лекции 3.

Аналогичным образом строится л.ф.х. Для построения фазовой характеристики колебательного звена можно использовать графики, приведенные в лекции 3.

В более сложных случаях, когда выражение для передаточной функции разомкнутой системы трудно представить в виде произведения простых сомножителей и оно имеет общий вид, построение л.а.х. и л.ф.х. можно производить обычным вычислением модуля и аргумента частотной передаточной функции при различных частотах, лежащих в пределах от 0 до +∞.

Обратимся теперь к определению устойчивости по построенным л.а.х. и л.ф.х. Ограничимся вначале случаем, когда разомкнутая система устойчива или нейтральна. Кроме того, будем пока рассматривать системы с астатизмом не выше второго порядка.

Как следует из рис. 7.15, 7.17 и 7.18, в абсолютно устойчивых системах фазовый сдвиг может достигать значения φ = - 180° только при модулях, меньших чем единица, а в условно устойчивых системах фазовый сдвиг может достигать -180° четное число раз (два, четыре и т. д.).

Это позволяет легко определить устойчивость но виду л.а.х. и л.ф.х. разомкнутой системы. На рис. 8.2, а изображен случай абсолютно устойчивой системы. Точка пересечения л.а.х. с осью децибел (точка 1) лежит левее точки, где фазовый сдвиг достигает значения φ = -180° (точка 2)

Рис.8.2

На рис. 8.2, б изображен случай условно устойчивой системы. Точка 1 по-прежнему лежит левее точки 2, но фазовый сдвиг достигает значения φ=-180° дважды при модулях, больших чем единица (точки 3 и 4).

На рис. 8.2, в изображен случай колебательной границы устойчивости и на рис. 8.2, г - случай неустойчивой системы.

Л.а.х. и л.ф.х., построенные в качестве примера на рис. 8.1, соответствуют устойчивой системе.

8.2. Построение областей устойчивости. D-разбиение

При расчете и проектировании системы автоматического регулирования иногда бывает необходимым исследовать влияние ее различных параметров на устойчивость. Для решения этой задачи служит построение областей устойчивости, т.е. определение таких областей значений параметров, при которых система оказывается устойчивой.

Различают построение областей устойчивости в плоскости одного параметра и в плоскости двух параметров. Рассмотрим построение областей устойчивости в плоскости двух параметров. Для построения таких областей на плоскости двух параметров А и В необходимо нанести линии, соответствующие границе устойчивости. Тогда область, ограниченная этими линиями, будет представлять собой область устойчивости. Для того чтобы окончательно убедиться в этом, необходимо для любой точки, лежащей внутри полученной области, по какому-либо критерию проверить устойчивость. Если устойчивость для этой точки будет иметь место, то она будет выполняться и для всех других точек, лежащих в этой области.

Для построения границ области устойчивости используются все три признака существующих типов границы устойчивости. Для границы устойчивости первого типа это будет равенство а_n=0. Для границы устойчивости третьего типа – равенство а₀=0.

Для получения условия, соответствующего границе устойчивости второго типа (колебательной), можно использовать различные критерии устойчивости.

Для систем, описываемых уравнением не выше четвертого порядка, может применяться критерий Гурвица. В этом случае колебательной границе устойчивости соответствует равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица: Δ_n-1 = 0.

Для уравнений любого порядка удобно использовать критерий Михайлова. Колебательной границе устойчивости в этом случае соответствует равенство нулю характеристического комплекса: D(jω) = 0, т.е. прохождение кривой Михайлова через начало координат.

Предположим, что два рассматриваемых параметра системы регулирования А и В входят линейной в характеристических комплекс. Тогда для границы устойчивости колебательного типа уравнение D(jω, А,В) = 0 распадается на два уравнения:

(8.5)

Здесь величина ω дает значение чисто мнимого корня, т.е. частоту гармонических колебаний системы.

Два последних выражения представляют собой параметрические уравнения границы устойчивости при соблюдении дополнительного условия отрицательности вещественных частей всех остальных корней, кроме чисто мнимых. Полная же совокупность всех кривых на плоскости параметров, разбивающая всю плоскость на области с определенным распределением корней, называется D-разбиением плоскости параметров. Обычно практическое значение имеет лишь часть кривых D – разбиения, соответствующая границе устойчивости.

Для упрощения выделения границ области устойчивости из всего комплекса кривых D – разбиения на плоскости двух параметров вводится штриховка этих кривых, производимая по правилу, которое будет приведено без доказательства. Перемещаясь вдоль кривой в сторону увеличения ω, надо штриховать ее с левой стороны, если будет положительным определитель, составленный из частных производных (8.5):

. (8.6)

Если же определитель отрицателен, то кривую надо штриховать справа. При соблюдении этого правила штриховка будет направлена внутрь области устойчивости, если параметр А отложен по оси абсцисс вправо, а параметр В – по оси ординат вверх.

В качестве примера рассмотрим следящую систему, характеристическое уравнение которой имеет вид:

.

Предположим, что электромеханическая постоянная времени двигателя Т_м является заданной величиной и требуется построить область устойчивости в плоскости двух параметров: общего коэффициента усиления К и постоянной времени усилителя Т_у.

Характеристический комплекс:

.

Уравнения, определяющие границу устойчивости,

Решая их совместно относительно параметров К и Т_у, получим

Задаваясь затем различными значениями ω в пределах от нуля до бесконечности, по эти формулам можно вычислить значения искомых параметров и составить таблицу 8.1, одинаковую для положительных и отрицательных частот.

Таблица 8.1

По полученным данным строим кривую D – разбиения (рис.8.3). Кривая имеет гиперболический вид с асимптотами при ω = 0 и Т_у = 0 при ω → ∞.

Для нанесения штриховки найдем знак определителя (8.6). Необходимые для этого частные производные будут при А = К и В = Т_у:

Определитель получается равным

Рис.8.3

Для отрицательных частот, т.е. при изменении частоты в пределах от -∞ до 0, полученный определитель будет положительным. Поэтому при движении по полученной кривой снизу вверх (от -∞ до 0) необходимо штриховать область, лежащую слева от кривой.

Для положительных частот, т.е. при изменении частоты в пределах от 0 до +∞, полученный определитель будет отрицательным. Поэтому при движении по полученной кривой сверху вниз (от 0 до +∞) необходимо штриховать область, лежащую справа от кривой. Снизу полученной кривой получится двойная штриховка.

Область устойчивости практически сформирована. Так как параметры К и Т_у должны быть положительными, область устойчивости будет ограничиваться полученной кривой и положительными направлениями осей К и Т_у.

Это можно показать и на основе использования двух оставшихся условий устойчивости. Граница устойчивости первого типа будет получена, если приравнять нулю свободный член а_n=0, что дает условие К = 0. Это условие выполняется на оси ординат. Граница устойчивости третьего типа получается при а₀=0, что дает условие Т_у = 0. Это условие выполняется на оси абсцисс.

Таким образом, область устойчивости в плоскости параметров К и Т_у получена окончательно. Для любых значений К и Т_у можно сразу определить, устойчива или неустойчива система, смотря по тому, попадает или не попадает точка, определяемая этими значениями параметров, в область устойчивости.