Лекция 3

План:

1. Временные характеристики САР.

2. Частотные характеристики САР.

3. Логарифмическая частотная характеристика.

4. Взаимосвязь временных и частотных характеристик.

1. Временные характеристики САР

Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функцииивесовой функции(функции веса).

Переходная функцияили переходная характеристикаh(t) представляет собой переходный процесс на выходе звена, возникающий при подаче на его вход скачкообразного (ступенчатого) воздействия равного единице. Такое входное воздействие называетсяединичной ступенчатой функциейи обозначается Х_вх.(t)=1(t), выходная величина Х_вых.(t)=h(t).

Х_вх.(t) = 1(t) Х_вых(t) =h(t)

W(p)

Рис. 3.1.

Если входное воздействие представляет собой неединичную ступенчатую функцию Х_вх.(t)=N1(t), выходная величина Х_вых.(t)=Nh(t). Вид единичной ступенчатой функции был рассмотрен ранее (рис.1.11).

Изображение по Лапласу единичной ступенчатой функции:

L[1(t)]=1/p, (3.1)

где р - оператор Лапласа.

Весовая функция(t) представляет собой реакцию звена наединичную импульсную функцию (t), поданную на его вход.

Единичная импульсная функция (функция Дирака) (t) представляет собой производную от единичной ступенчатой функции(рис. 1.12). Основное свойство дельта-функции заключается в том, что она имеет единичную площадь:

(3.2)

W(p)

- весовая функция звена.

Рис.3.2.

Между весовой и передаточной функцией существует связь. С точки зрения математики весовая функция это обратное преобразование Лапласа от передаточной функции.

(3.3)

Между переходной и весовой характеристиками есть связь:

(3.4)

Весовая функция и переходная характеристика являются временными характеристиками звена, показывающими какой процесс наблюдается на выходе звена при подаче на вход типовых сигналов.

3.2. Частотные характеристики сар

Частотные характеристики - это формулы и графики характеризующие реакцию звена на синусоидальное или гармоническое входное воздействие в установившемся режиме.

Подадим на вход звена вид типовое гармоническое воздействие: x(t)=bsinωt, гдеb-амплитуда, ω - круговая частота.

Выходной сигнал y(t) будет представлять собой выходное гармоническое воздействиеy(t) =asin(ωt+).

W(p)

Если рассмотреть и сопоставить входной и выходной сигналы звена, то можно увидеть, что они отличаются друг от друга по амплитуде (А=a/b- амплитудная характеристика звена) и по фазе (=_вых-_вх- фазовая характеристика звена). Вообще, частотные характеристики представляют собой формулы, графики, характеризующие реакцию звена на синусоидальное входное воздействие в установившемся режиме.

Одни и те же элементы могут пропускать высокие частоты и ослаблять низкие и наоборот.

Формально частотная характеристика любого элемента может быть получена из его передаточной функции, на основе исполнения комплексной формы записи гармонического входного сигнала. При этом подстановка в W(p) аргумента позволяет получить комплексную частотную характеристику этого элемента. Для этого рассмотрим пример. Пусть дано динамическое звено вида:

W(p)

Передаточная функция звена пусть имеет следующий вид:

Формально, подставив,

получим частотную передаточную функцию в виде:

В соответствии с заданной передаточной функцией дифференциальное уравнение имеет вид:

. (3.5)

Пусть входное воздействие изменяется по закону:

, (3.6)

Тогда выходной сигнал определится как:

, (3.7)

φ - разность фаз входного и выходного сигналов.

Запишем уравнения (3.6), (3.7) в показательной форме. Согласно формуле Эйлера:

, (3.8)

; (3.9)

(3.10)

В соответствии с принципом суперпозиции достаточно рассмотреть одно слагаемое х₁’. Тогда можно записать:

, (3.11)

, (3.12)

Проведем вычисление производных:

, (3.13), (3.14), (3.16)

После подстановки (3.13), (3.14), (3.16) в (3.5) имеем:

,(3.17)

Учитывая, что

преобразуем (3.17):

, (3.18)

Найдя ииз (3.18) получим частотную передаточную функцию рассматриваемого звена:

(3.19)

В соответствии с (3.19) частотная передаточная функция - вектор, модуль которого отношение и, а аргумент - сдвиг по фазе междуи.

(3.20), (3.21)

Частотная характеристика (ЧХ) является комплекснозначной функцией и может быть представлена в алгебраической форме.

W(j)=U()+jV(), (3.22)

где U() - вещественная частотная характеристика

V() - мнимая частотная характеристика

Обратим внимание на то, что U() - функция четная по отношению к, аV() - функция нечетная по отношению к:

U( - )=U(), V( - ) = -V().

Представим действительную и мнимую части в виде

U()=А()Cos(),

V()=А()Sin().

Тогда в алгебраической форме выражения для амплитудной и фазовой частотной характеристик имеют вид:

(3.23), (3.24)

В соответствии с уравнениями (3.22) –(3.24) различают различные амплитудно-фазовые частотные характеристики:

1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ).

2. Амплитудная частотная характеристика (АЧХ).

3. Фазовая частотная характеристика (ФЧХ).

4. Вещественная частотная характеристика.

5. Мнимая частотная характеристика.

Амплитудно-фазовые частотные характеристики графически могут быть изображены на комплексной плоскости в полярной системе координат как годограф передаточной частотной функции W(j) (рис.3.4.).

Причем АФЧХ могут быть построены как для положительных так и для отрицательных частот. При замене в частотной передаточной функции +на -получится комплексно сопряженная величина. Поэтому АФЧХ для отрицательных частот может быть построена как зеркальное отображение относительно вещественной оси АФЧХ для положительных частот. На рис.3.4. АФЧХ для отрицательных частот показана пунктирной линией.

Рис. 3.4. Амплитудно-фазовая частотная характеристика

Положительные и отрицательные частоты имеют определенный смысл, т.к. они соответствуют положительным и отрицательным угловым скоростям вращения векторов на комплексной плоскости. В принципе можно ограничиться рассмотрением только положительных частот. Однако при использовании всего диапазона частот от – ∞ до + ∞ многие формулы получают более удобный и симметричный вид.

Вместо АФЧХ можно построить отдельно амплитудную и фазовую частотную характеристики (рис.3.5). АЧХ показывает как пропускает звено или система сигнал различной частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин. ФЧХ показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном или системой на различных частотах.

Рис. 3.5. Амплитудная и фазовая частотные характеристики

Иногда раздельно строят вещественную и мнимую частотные характеристики.

Рис. 3.6. Вещественная и мнимые частотные характеристики