Лекция 2

План:

2.1.Составление дифференциальных уравнений САР.

1. Линеаризация уравнений САР.

2. Первая форма записи линеаризованных уравнений.

3. Вторая форма записи линеаризованных уравнений.

1. Структурные схемы САР.

2. Передаточные функции разомкнутых и замкнутых САР.

2.1. Составление дифференциальных уравнений сар

В теории автоматического управления при решении задач анализа и синтеза САР используются дифференциальные уравнения. Существует два рода уравнений:

• уравнения статики (уравнения установившихся режимов);

- уравнения динамики (уравнения процесса регулирования или переходных процессов).

Уравнения установившихся режимов обычно являются алгебраическими. Уравнения динамики процесса регулирования обычно дифференциальные или интегродифференциальные.

При составлении дифференциальных уравнений используются два подхода:

- первый основан на применении интегрального принципа Гамильтона и уравнения Лагранжа 2-ого рода для обобщенных координат системы. Он получил наибольшее распространение при описании механических систем :

где : q_i - приведенная сила , Q_i - обобщенная сила , T - кинетическая энергия системы , A_i - работа.

- второй основан на разбиении системы на динамические звенья.

Под динамическим звеном понимают устройство любой физической природы и конструктивного исполнения, описываемое дифференциальным уравнением на выше второго порядка. Для каждого динамического звена составляются уравнения на основе того физического закона, который определяет протекающий в нем процесс. Совокупность уравнений динамики составленных для всех звеньев системы определяет процесс автоматического управления. Уравнения всех звеньев образуют единую систему уравнений, которые путем исключения промежуточных переменных можно преобразовать к единому уравнению, связывающему регулируемую переменную x(t) с управляющим воздействием y(t).

2.1.1. Линеаризация уравнений сар

Независимо от используемого подхода (первого или второго), если во внимание при составлении дифференциальных уравнений принимают все факторы, влияющие на динамику процесса управления, то уравнения сложны, среди них много нелинейных, и плохо поддаются интегрированию. Часто исходные нелинейные уравнения отдельных звеньев заменяют приближенными к ним линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Линеаризация проводится, если она допустима для данного уравнения. Достаточными признаками для проведения линеаризации являются:

- отсутствие разрывных, неодназначных и резко меняющихся характеристик;

- справедливость уравнения в течение всего интервала времени управления.

Линеаризация дифференциальных уравнений производится по формуле Тейлора. В основе методики линеаризации лежит предположение о том, что в исследуемом динамическом процессе переменные изменяются так, что их отклонения от установившихся значений, остаются достаточно малыми.

Рассмотрим звено (рис.2.1) , у которого зависимость между выходной и входной величинами представлено уравнением:

, (2.1)

где х₁- входной сигнал;

х₂- выходной сигнал;

Рис. 2.1. F- внешнее воздействие.

Пусть установившемуся процессу в системе соответствуют координаты ,.

Запишем уравнение (2.1) для установившегося режима, то есть когда скорости и ускорения переменных равны нулю:

. (2.2)

Переменные в процессе регулирования получают малые приращения:

Перепишем уравнение (2.1) для любого момента времени, когда величины в системе изменяются:

. (2.3)

Разложим левую часть уравнения (2.3) в ряд Тейлора в окрестностях точки О с координатами :

(2.4)

где R- остаточный член, в который входят слагаемые второй и выше степени (R- малая величина).

Если линеаризованное уравнение используется для исследования качества процесса регулирования и приращения переменных не всегда малы, тогда для строго оценки допускаемой погрешности производят анализ остаточного члена.

Отбрасывая в уравнении (2.4) R, получим линейное дифференциальное уравнение (2.5):

(2.5)

Уравнение (2.5) линейное, т.к. содержит первые степени отклонений и их производных. Запишем уравнение процесса регулирования в отклонениях от установившегося состояния. Из уравнения (2.5) вычитаем уравнение (2.2):

(2.6)

Полученное уравнение (2.6) отличается от исходного уравнения (2.1) тем, что оно (2.6) более приближенное, так как в процессе его вывода были отброшены малые члены высшего порядка, а неизвестными функциями времени являются не прежние величины, а их отклонения от установившихся значений. Полученное уравнение (2.6) соответствует линейной САР.

Существенным свойством линейных систем является то, что для них справедлив принцип суперпозиции, то есть если к линейной системе приложено одновременно несколько воздействий, то их совместный эффект равен сумме эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности.

Уравнение (2.6) имеет неудобную для записи и физического толкования форму. Преобразуем его следующим образом: в левой части уравнения оставляются отклонения выходной координаты и ее производные со своими коэффициентами в порядке убывания, в правой - все отклонения входных и возмущающих сигналов:

(2.7)

Коэффициент при выходной координате должен быть равен единице, для этого правую и левую части уравнения (2.7) разделим на , вычисленную в точке О.

(2.8)

Введем обозначения:

Т² = ; 2Т = ; k₁ = - ; k₂ = - ; k₃ = ,

где Т - постоянная времени, характеризующая динамические или инерционные свойства звена (чем меньше Т, тем быстрее звено откликается на входное воздействие), измеряется в секундах;

 - коэффициент колебательности (если 1, то характеристическое уравнение имеет вещественные корни, если< 1 - корни комплексно-сопряженные);

k₁,k₂,k₃- коэффициенты передачи звена соответственно по входному сигналу, по скорости изменения входного сигнала и по внешнему воздействию (если размерности входного и выходного сигналов совпадают, тоk- коэффициент усиления звена.

С учетом принятых обозначений уравнение (2.8) примет вид:

(2.9)

Уравнение звена, в котором коэффициент при выходной координате равен единице, называют нормализованным.