2.1.2.Первая форма записи линеаризованных уравнений

Применим преобразования Лапласа к уравнению (2.9).

; ;;;

; .

С учетом этого уравнение (2.9) в операторной форме примет вид:

(2.10)

В результате преобразований оператор р можно рассматривать как некоторую переменную и дифференциальное уравнение превращается в алгебраическое.

Уравнение (2.10) записано в стандартной форме записи, принятой в теории автоматического управления. Под стандартной формой записи будем понимать такую форму, когда в левой части уравнения - отклонения выходной величины со своими производными коэффициентами, в правой - все входные сигналы (их отклонения) с их производными коэффициентами. Коэффициент при выходной координате равен единице. Форма записи операторная.

Для упрощения записи уравнений САР часто вместо преобразований Лапласа пользуются формальным методом - уравнение записывается в символической форме, считая условно р = .

Тогда уравнение (2.9) примет вид:

(2.11)

Переменные х₁, х₂,Fсвоего смысла не меняют. Уравнение (2.11) - сокращенная форма записи уравнения (2.9).

2.1.3. Вторая форма записи линеаризованных уравнений

За исходное используем уравнение в стандартной форме записи (2.10) и разрешим его относительно входной величины.

(2.12)

Введем обозначения:

W₁(p) = ; W₂(p) = ,

где W₁(p),W₂(p) - передаточные функции звена соответственно по входному сигналуx₁и по внешнему воздействиюF.

Под передаточной функцией звена понимают отношение лапласовых изображений выходного сигнала к входному сигналу при нулевых начальных условиях и равных нулю прочих воздействий на звено или систему.

С учетом принятых обозначений имеем:

, (2.13)

Уравнение (2.13) удобно при составлении структурных схем, которые представляют по сути графическое изображение исходного дифференциального уравнения, записанного в операторной или формальной форме записи.

2.2. Структурные схемы сар

Часто САР можно рассматривать, как комбинацию динамических звеньев, с определенными типовыми передаточными функциями. Изображение САР в виде совокупности динамических звеньев с указанием связи между ними называется структурной схемой.

Структурная схема может быть составлена на основе известных уравнений системы. Уравнения системы могут быть получены из структурной схемы. Однако первая задача имеет различные варианты решения (т.е. разные структурные схемы), тогда как вторая имеет всегда единственное решение.

Для представления дифференциальных уравнений в виде структурной схемы используется вторая форма записи:

А также следующие графические изображения математических операций:

- умножение

(звено в структурной схеме условно обозначают в виде прямоугольника с указанием входной и выходной величин, а также передаточной функции)

-суммирование (вычитание)

X₄=X₁+X₂–X₃

(сравнивающие и суммирующие звенья изображают в виде круга, разделенного на секторы)

-тождество (в тех случаях, когда один и тот же сигнал подается на различные звенья, выделяют узлы)

Используя указанные символы, предлагается последовательность составления структурных схем САР:

1. Систему дифференциальных уравнений САР записывают в операторной форме, применяя преобразования Лапласа или осуществляя формальную подстановку .

2. Для каждого уравнения системы условно выбирают выходную и входную величины и записывают уравнение во второй форме записи, разрешая их относительно выходных величин.

3. Каждое уравнение изображается графически с помощью принятой системы обозначений.

4. Составляется структурная схема САР, как совокупность графических изображений каждого уравнения системы.

Рассмотрим простейшие сочетания звеньев.

1. Последовательное соединение звеньев.

Соединение элементов является последовательным, если выход предыдущего элемента является входом последующего.

Определим эквивалентную передаточную функциюW_экв(p):

И так, для последовательного соединения.

2. Параллельное соединение звеньев.

Если в системе один и тот же сигнал поступает на несколько элементов, то речь идет опараллельномсоединении элементов.

Определим W_экв:

Y=Y₁+Y₂+Y₃

Y₁=W₁*X

Y₂=W₂*X

Y₃=W₃*X

Y=W₁*X+W₂*X+W₃*X

Y=X(W₁+W₂+W₃)

или .

3. Обратные связи.

Схемы с обратной связью реализуются вовстречно-паралельных соединениях.

В данных соединениях выделяют прямую цепь, цепь обратной связи, а также при размыкании этой системы звенья W₁ и W₂оказываются последовательно соединенными и образуют разомкнутый контур.

Для нахождения W_экввыразимzиεчерезY.

ε=x-z => z=W₂*Y

W₁(p)* ε=Y => ε=Y/W₁(p)

Проведем дальнейшие преобразования:

Y+W₁(p)*W₂(p)*Y=X*W₁(p)

Y(1+ W₁(p)*W₂(p))=X*W₁(p)

Таким образом, для рассматриваемого соединения эквивалентная переходная характеристика имеет следующий вид:

Когда структурная схема САР сложная и содержит много перекрестных связей возможно ее упрощение и сведение к простейшему виду. Такое преобразование структурной схемы САР необходимо для получения передаточных функций разомкнутой и замкнутой системы. Преобразования структурных схем САР выполняется по определенным правилам.

Правила преобразования структурных схем САР.

1. Перестановка звеньев.



2. Перенос узла с выхода на вход звена.



3. Перенос узла входа на выход.



4. Перенос сумматора с выхода на вход.



5. Перенос сумматора с входа на выход.



6. Переход к единичной обратной связи.



Более полный список правил преобразования структурных схем с постоянными параметрами приведен в [2 /стр. 323-332].