6.3. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

В большинстве задач ТАР правые части уравнений вида (6.4) допускают разложения в степенные ряды. После разложения правых частей уравнения (6.4) по степеням х_i получим уравнение возмущенного движения в виде:

, (6.5)

где a_{i 1}…a_{i n} - постоянные коэффициенты;

R_i (х₁, х₂…х_n) - совокупность членов, содержащих х_i в степени выше первой.

Если отклонения х_i достаточно малы, то пренебрегая членами R_i (х₁, х₂…х_n) получим линейные уравнения первого приближения к неизвестным х_i:

. (6.6)

В большинстве случаев устойчивость движения исследуется по уравнениям первого приближения. Однако на основании уравнений первого приближения можно сделать иногда неверное заключение об устойчивости движения.

Ляпунов определил условия, при выполнении которых по уравнениям первого приближения можно дать правильный ответ об устойчивости движения.

Системе уравнений (6.6) соответствует характеристическое уравнение:

. (6.7)

Из характеристического уравнения (6.7) можно найти его корни _i, которые в общем случае имеют вид:

_i = _i  i _i

где _i, _i - вещественные и мнимые части корней.

Для исследования устойчивости систем по их линеаризованным уравнениям (уравнениям первого приближения) Ляпунов доказал следующие теоремы.

Теорема 1. Если вещественные части всех корней _i характеристического уравнения первого приближения отрицательны, то невозмущенное движение в системе асимптотически устойчиво.

Теорема 2. Если среди корней _i характеристического уравнения найдется по меньшей мере один корень с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво независимо от того рассматривается уравнение первого приближения или нелинеаризованное (исходное) уравнение.

Если среди корней характеристического уравнения имеется один или несколько корней, вещественная часть которых равна нулю, а вещественные части остальных корней отрицательны, то этот случай называется критическим. Как показал Ляпунов, в критическом случае устойчивость (неустойчивость) невозмущенного движения не может быть оценена по уравнениям первого приближения, так как она зависит от вида нелинейной функции R_i (х₁, х₂…х_n) и поэтому в этом случае требуется рассмотрение дифференциальных уравнений возмущенного движения в их исходном виде (6.5).

6.4. Устойчивость линейных сар

В линейной постановке задачи дифференциальные уравнения системы могут быть сведены к одному уравнению для регулируемой величины х(t) при наличии задающего воздействия g(t). В операторной форме это уравнение имеет вид:

(а₀рⁿ + а₁р^n-1 +…+ а_n-1р + а_n) x(t) = (b₀р^m + b₁р^m-1 +…+ b_m-1р + b_m) g(t) , (6.8)

где a_i , b_j - постоянные коэффициенты.

Изменение регулируемой величины х(t) при внешнем воздействии g(t) определяется решением уравнения:

х(t) = х _общ (t) + х _частн (t) , (6.9)

где х _общ (t) - общее решение однородного уравнения, то есть решение без правой части, описывающее свободное движение или переходный процесс в системе;

х _частн (t) - частное решение неоднородного уравнения (6.8), находящееся решением (6.8) с правой частью, описывающее вынужденное движение системы.

Тогда перепишем (6.9) в виде:

х(t) = х _св (t) + х _вын (t) . (6.10)

Составляющая, описывающая вынужденное движение САР х _вын (t) имеет тот же характер, что и задающее воздействие g(t), так как определяется как частное решение неоднородного дифференциального уравнения (6.8). В теории управления интересуются устойчивостью вынужденной составляющей х _вын (t). Поэтому за невозмущенное движение принимают вынужденную составляющую. Тогда возмущенным движением будет любое возможное в системе изменение регулируемой величины х(t), а отклонением или вариацией - составляющая, описывающая свободное движение:

х _св (t) = х(t) - х _вын (t) .

Составляющая, описывающая свободное движение х_св(t) определяется общим решением однородного дифференциального уравнения:

(а₀рⁿ + а₁р^n-1 +…+ а_n-1р + а_n) x(t) = 0 , (6.11)

В соответствии с определением устойчивости по Ляпунову система будет асимптотически устойчивой, если с течением времени при t свободная составляющая будет стремиться к нулю, то есть х _св (t) 0. Чтобы найти эту составляющую нужно решить однородное уравнение (6.11). Решение этого уравнения имеет вид:

х _св (t) = Се ^t . (6.12)

Подставляя это решение в уравнение (6.11), после сокращения на общий множитель Се ^t получим характеристическое уравнение:

а₀ⁿ + а₁^n-1 +…+ а_n-1 + а_n = 0. (6.13)

Корни ₁, ₂…_n характеристического уравнения будут определять характер переходного процесса в системе.

Корни характеристического уравнения с постоянными коэффициентами могут быть вещественными, комплексными, мнимыми, нулевыми.

В общем случае:

_i = _i  i _i

На рис 6.3 показаны возможные положения корней на комплексной плоскости корней :

Рис.6.3

Если все корни разные, то их называют простыми. Если среди корней есть одинаковые, то их называют кратными. Корни с отрицательными вещественными частями принято называть левыми, поскольку они на комплексной плоскости расположены слева от мнимой оси, а с положительными вещественными частями - правыми корнями.

При этом условие устойчивости линейной системы можно сформулировать следующим образом: для того чтобы линейная система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости (или были левыми).

На рис.6.4. показаны графики свободной составляющей х _св (t) устойчивых (рис.6.4.а,б), неустойчивых систем (рис.6.4.в,г) и систем находящихся на границе устойчивости (рис.6.4.д,е).

Заметим, что поскольку требования к корням обеспечивает свойство х _св (t)0 при t при любых начальных условиях, то устойчивая линейная система с постоянными параметрами всегда устойчива асимптотически и в целом.

а) б)

в) г)

д) е)

Рис.6.4

Вычисление корней характеристического уравнения не представляет труда для уравнений 1-й и 2-й степени. Общие выражения для корней уравнений 3-й и 4-й степеней громоздки и практически малопригодны.

Общие выражения для корней уравнений более высокого порядка вообще невозможно записать через коэффициенты характеристического уравнения. Поэтому важное значение приобретают правила, которые позволяют определять устойчивость системы без вычисления корней. Эти правила называют критериями устойчивости. Критерии устойчивости классифицируются на алгебраические и частотные. К первой группе относятся критерии Гурвица, Рауса. Ко второй группе относятся критерии Михайлова и Найквиста. С математической точки зрения все критерии эквивалентны.