3.3.6 Коэффициент множественной корреляции

Взаимосвязь зависимой переменной yс рядом независимых переменныхможет быть измерена в целом с помощью коэффициента множественной корреляции, который вычисляется по формуле:

Смысл коэффициента заключается в оценке близости линии регрессии к экстремальной зависимости. Из вида подкоренного выражения следует, что если линия регрессии полностью совпала с экспериментальными данными, то R=1, в противном случае |R|<1.

Доверительные интервалы регрессии.

Пусть прогнозируемое значение определено из уравнения регрессии с оцененными параметрами. Поскольку- случайная величина, постольку итакже случайна и имеет дисперсию. Из [ , ] следует, что

здесь вектор столбец координат точки, некоторой к-ой точки.

Подставляя вместо ее оценку (7) получим, что «истинное» среднее значениеyлежит в пределах интервала:

Нелинейная регрессия

Вся теория изложенная конспективно здесь, относится к линейным моделям. На практике нельзя ограничиваться линейными моделями, так как они могут неадекватно описывать явление или характер поведения объекта. В таких случаях структуру модели выбирают нелинейной относительно переменных или параметров, а иногда относительно и того и другого. Если модель нелинейна по переменным, то степени переменных заменяются другими переменными в первой степени. После чего применяют МНК. Например, вместо модели

, путем замены переменныхполучают модель

Это дает возможность применять для вычисления оценок параметров аппарат линейной регрессии. Иногда удается с помощью логарифмирования привести модель к виду, позволяющему применить МНК. Например, пусть y=ab* , тогда логарифмируя получим:. Если положить,, то получимZ=A+Bx. Однако следствием таких замен является смещение оценок параметров, получаемых линейным МНК. В общем случае оценивание нелинейных по параметрам уравнений производится с помощью нелинейного МНК. Применение нелинейного МНК в конечном счете сводится к решению системы нелинейных уравнений численными методами.

4. Пояснения к п. 3-5 задания (регрессионный анализ средствами Statistica)

4.1. Для построения корреляционных полей (диаграмм рассеяния) для пар переменных необходимо выбрать пункт меню Graphs/Stats 2Dgraphs/Scatterplots.

4.2. Для расчета матрицы выборочных парных коэффициентов корреляции необходимо выбрать модуль BasicStatisticsandTables. Далее в появившемся диалоговом окнеBasicStatisticsandTablesвыбратьCorrelationsMatrices, затем задать необходимые опции в диалоговом окнеPearson-Product-MomentCorrelations.

4.3. Для построения регрессионной модели необходимо выбрать модуль Multiple Regression. Далее в появившемся диалоговом окне Model Definition задать зависимую и независимые переменные, выбрать метод Standard и нажать OK. В результате на экране отобразится диалоговое окно - Multiple Regression Results.

4.4. Коэффициент детерминации (R²), сумма квадратов отклонений выдаются в диалоговом окне Multiple Regression Results.

5. Вопросы к лабораторной работе

5.1. Какие методы планирования эксперимента Вы знаете? Цели проведения эксперимента с имитационной моделью системы.

5.2. Этапы проведения эксперимента с имитационной моделью.

5.3. Объясните назначение, синтаксис, правила использования операторов GPSS, которые применялись при моделировании СМО, изучаемой в лабораторной работе.

5.4. Постановка задачи структурной и параметрической идентификации модели системы.

5.5. Постановка задачи регрессионного анализа данных.

5.6. Суть метода наименьших квадратов для оценки параметров регрессионной модели. Свойства оценок, рассчитанных по методу наименьших квадратов.

5.7. Поясните смысл коэффициента детерминации.

Литература

1. Боровиков В.П., Боровиков И.П. STATISTICA – Статистический анализ и обработка данных в среде Windows. – М.: Информационно-издательский дом «Филин», 1997. – 608 с.

2. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. – М.: Наука, 1978. – 399 с.

3. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. – М.: Статистика, 1973.

4. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для экон. спец. вузов. – М.: высш. шк., 1991. – 400 с.

5. Прицкер А. Введение в имитационное моделирование и язык СЛАМ II: Пер. с англ. – М.: Мир, 1987. – 646 с.

6. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учеб. для вузов – М.: Высш. шк., 2001. – 343 с.