3.1. Некоторые понятия

Задача идентификации модели системы распадается на две задачи: задача структурной идентификации и задача параметрической идентификации.

Задача структурной идентификациизаключается в определении структуры математической модели. Понятие «структура модели» не имеет четкого определения. Обычно под структурой модели понимают вид оператораF, связывающего вектор входных воздействийX=c вектором выходных воздействийс точностью до его коэффициентов. Выбор структуры модели осуществляется на основе априорной информации об объекте. Этот этап трудно формализуем, связан с эвристическими решениями, в основном решается только с участием человека.

Задача параметрической идентификациисводится к отысканию параметров оператораFна основе апостериорной информации. Задача обычно ставится как задача математического программирования, так как при этом минимизируется некоторый функционал, являющийся ущербом, наносимым процессом идентификации.

В том случае, когда входные и выходные воздействия связаны оператором вида

, для оценки параметров модели применяют метод наименьших квадратов (МНК).

. Классический МНК предполагает равноценность исходной информации. Простота и легкость его реализации на ЭВМ привела к тому, что МНК широко применяют при решении задач идентификации и прогноза.

Однако МНК имеет и недостатки, которые связаны с тем, что трудно выбрать оптимальную структуру математической модели, а это в первую очередь влияет на точность с которой задача будет решена.

Другим недостатком метода является то, что для нелинейных моделей необходимо искать преобразования, которые позволяют свести задачу к «приблизительно линейной», при этом все получаемые оценки оказываются смещенными.

3.2. Метод наименьших квадратов

Предположим, что между экспериментальными данными предполагается линейная зависимость:

(2)

Зависимость (2) носит название линейной регрессии. Исходные данные для получения оценок параметров модели (2) обычно записывают в виде матриц:

,

где i – номер эксперимента,N– их количество .

Для того, чтобы функция регрессии (2) достаточно хорошо описывала эмпирическую зависимость, ее параметры подбирают таким образом, что отклонениямежду измереннымии теоретическими значениямипринимали бы минимальные значения. В качестве такого критерия выбирают сумму квадратов отклонений:

(3)

Выбор критерия в таком виде объясняется тем, что при этом формулы расчета значений достаточно просты, хорошо зарекомендовали себя в практике, а сами эти значения обладают определенными свойствами .Критерий (3) является обобщенным показателем рассеивания вокруг искомой линейной зависимости.

Параметры подбирают из условий минимизации (3). Необходимым условием существования минимума критерия (3) является равенство нулю частных производных по неизвестным параметрам. Минимизируя функциюQположим

(4)

система линейных уравнений (4), как это легко найти, в матричной форме записывается

(5)

Из (5) следует, что

(6)

Оценку , найденную по формуле (6) называютоценкой наименьших квадратов, или оценкой МНК.

3.3. Оценка точности и качества модели.

3.3.1 Проверка модели по величине остаточной дисперсии

Принципиальная возможность применения модели, т.е. оценка адекватности полученной модели и изучаемого объекта, производится с помощью показателя остаточной дисперсии

(7)

Как доказано, например в [1,2], является несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии случайной составляющей, а величина(если случайная величина нормальна) распределена по законусстепенями свободы.