Теория Графов 2

Маршруты, цепи, циклы

Лемма о простой цепи

Лемма 1.1

Если в графе для некоторых вершин u è v существует (u; v)-маршрут, то существует и простая (u; v)-öåïü.

Маршруты, цепи, циклы

Лемма о простой цепи

Лемма 1.1

Если в графе для некоторых вершин u è v существует (u; v)-маршрут, то существует и простая (u; v)-öåïü.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем (u; v)-маршрут P наименьшей длины.

Маршруты, цепи, циклы

Лемма о простой цепи

Лемма 1.1

Если в графе для некоторых вершин u è v существует (u; v)-маршрут, то существует и простая (u; v)-öåïü.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем (u; v)-маршрут P наименьшей длины. Покажем, что P простая цепь.

о/п. Пусть P не является простой цепью

Маршруты, цепи, циклы

Лемма о простой цепи

Лемма 1.1

Если в графе для некоторых вершин u è v существует (u; v)-маршрут, то существует и простая (u; v)-öåïü.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем (u; v)-маршрут P наименьшей длины. Покажем, что P простая цепь.

о/п. Пусть P не является простой цепью

существует w 2 P, которая входит в нее более одного раза

Маршруты, цепи, циклы

Лемма о простой цепи

Лемма 1.1

Если в графе для некоторых вершин u è v существует (u; v)-маршрут, то существует и простая (u; v)-öåïü.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем (u; v)-маршрут P наименьшей длины. Покажем, что P простая цепь.

о/п. Пусть P не является простой цепью

существует w 2 P, которая входит в нее более одного раза возьмем первые два вхождения w, считая от начала (см. рис.)

Маршруты, цепи, циклы

Лемма о простой цепи

Лемма 1.1

Если в графе для некоторых вершин u è v существует (u; v)-маршрут, то существует и простая (u; v)-öåïü.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем (u; v)-маршрут P наименьшей длины. Покажем, что P простая цепь.

о/п. Пусть P не является простой цепью

существует w 2 P, которая входит в нее более одного раза возьмем первые два вхождения w, считая от начала (см. рис.)

u w x w y v

Маршруты, цепи, циклы

Лемма о простой цепи

Лемма 1.1

Если в графе для некоторых вершин u è v существует (u; v)-маршрут, то существует и простая (u; v)-öåïü.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем (u; v)-маршрут P наименьшей длины. Покажем, что P простая цепь.

о/п. Пусть P не является простой цепью

существует w 2 P, которая входит в нее более одного раза возьмем первые два вхождения w, считая от начала (см. рис.)

u w x w y v

пунктир на рис. означает некоторую последовательность ребер (возможную пустую)

Маршруты, цепи, циклы

Лемма о простой цепи

Лемма 1.1

Если в графе для некоторых вершин u è v существует (u; v)-маршрут, то существует и простая (u; v)-öåïü.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем (u; v)-маршрут P наименьшей длины. Покажем, что P простая цепь.

о/п. Пусть P не является простой цепью

существует w 2 P, которая входит в нее более одного раза возьмем первые два вхождения w, считая от начала (см. рис.)

u w x w y v

пунктир на рис. означает некоторую последовательность ребер (возможную пустую)

отметим, что после первого вхождения w обязательно должна быть вершина x 6= w

Маршруты, цепи, циклы

Доказательство леммы о простой цепи