Метод потенциалов нахождения оптимального плана транспортной задачи

Для закрытой транспортной задачи в опорном плане заняты n+m-1 клетка. Полученный опорный план надо проверить на оптимальность. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема: Если для некоторого опорного плана транспортной задачи x^*=(x^*_ij) (i=1,m; j=1,n) существуют числа ά₁, ά₂,…, ά_m и β₁, β₂,…, β_n, такие что

β_j- ά_{i =}c_ijпри x_ij>0

β_j- ά_{i =}c_ijпри x_ij=0

для всех значений i и j , то план x^* =(x^*_ij) является оптимальным планом транспортной задачи.

Числа ά_i (i=1,m) и β_j (j=1,n) называются потенциалами пунктов назначения и пунктов потребления, соответственно. Эти числа находят из системы уравнений: β_j- ά_{i =}c_ij, где c_ij- тарифы в заполненных клетках опорного планаТ3.

Число уравнений в системе равно n+m-1, а число неизвестных n+m. Одно из неизвестных (пусть ά₁) полагают равным нулю и находят все потенциалы.

Для свободных клеток определяют α_ij=β_j-α_i-c_ij. Если все ά_ij ≤ 0 , то план является оптимальным. Если существует ά_ij> 0 , то находят из этих чисел maxά_ij. Заполняют эту клетку, а объемы в ряде других занятых клеток изменяют.

Определение. Циклом в таблице условий Т3 называетсязамкнутая ломаная линия, вершины которой расположены в занятых клетках таблицы, а звенья ломаной линии – вдоль строк и столбцов, причем в каждой вершине встречаются ά_ij только два звена.

•- - - ¦	- - -• ¦	•			•
¦ •- - -	¦ - - -¦ - - ¦	- - - - -	- - -• ¦	•	•
	¦ •- -	- - - - -	¦ - - -•
		•		•

Рис. Примеры циклов в таблице транспортной задачи

При правильном построении опорного плана для любой свободной клетке можно построить только один цикл (Рис. ).

Правило перемещения грузов по циклу:

- каждой из клеток цикла, связанной с данной свободной клеткой, приписывают определенный знак: свободной клетке «+», остальным – по очереди «-»/ «+», при этом направление обхода не имеет значения, т.к. вершин в цикле всегда четное число;

- среди минусовых клеток находят minx_ij. Это число прибавляют ко всем “плюсовым” клеткам и вычитают из всех “минусовых” клеток. Таким образом, клетка, ранее свободная, становится занятой; а “минусовая” клетка с minx_ijстанет свободной.

Алгоритм метода потенциалов:

1. имеется опорный план с (n+m-1)-ой заполненной клеткой;

2. составляют систему уравнений для всех заполненных клеток;

3. из полученной системы уравнений определяют и;

4. вычисляют потенциал для каждой свободной клетки ;

5. если , то план будет оптимальным;

6. в противном случае среди положительных значений находятmax{};

7. осуществляют сдвиг по циклу (пересчет поставок);

8. переходят к пункту 2.

В качестве примера оптимизации методом потенциалов рассмотрим опорный план предыдущей задачи, полученный по методу Фогеля.

Составляем систему уравнений для потенциалов по всем заполненным клеткам:

Пусть , тогда из уравнений (1) и (2) получаем, далее из уравнения (6), из (5), из (4), из (3). Представляя потенциалы как векторы, имеем;.

Вычислим вспомогательные величины для незаполненных клеток:

.

Так как для всех свободных клеток полученные значения отрицательны, следовательно, данный план является оптимальным.

Теперь применим оптимизации методом потенциалов к опорному плану, полученному по методу минимального элемента:

Для заполненных клеток составляем систему уравнений:

.

Положив , последовательно получаем,,,,,. Или в виде векторов;.

Вычисляем коэффициенты для незаполненных клеток:

; ;

; ;

;.

Среди полученных значений существует положительное , что свидетельствует о неоптимальности данного плана. Составляем цикл для свободной клетки A₁B₄: A₁B₄→ A₃B₄→ A₃B₃→ A₁B₄. Припишем клеткам этого цикла знаки по очереди  и , начиная со свободной клетки. Выпишем объемы перевозок среди минусовых клеток (90 и 160) и найдем минимальное значение (90). Из всех минусовых клеток вычтем это значение, а ко всем плюсовым клеткам прибавим это значение: 90-90=0, 160-90=70, 0+90=90, 30+90=120.

Итак, получим новый план:

	В1	В2	В3	В4
А1	7	8	1 70	2  90
А2	4 120	5 	9	8 20
А3	9	2  50	3  120	6

Для заполненных клеток составим систему уравнений:

.

Положив α₁=0, получим β₃=1, β₄=2, β₂=0, α₃=-2, β₁=-2. α₂=-6 или в форме векторов ) и.

Вычислим значения вспомогательных величин для свободных клеток:

Так как существует положительное значение для клетки A₂B₂, то имеется возможность улучшения полученного плана. Дляклетки A₂B₂составимцикл: A₂B₂→ A₃B₂→ A₃B₃→ A₁B₃ → A₁B₄→ A₂B₄→ A₂B₂.

Припишем клеткам этого цикла знаки по очереди  и , начиная со свободной клетки. Выпишем объемы перевозок среди минусовых клеток (50, 70 и 20) и найдем минимальное значение (20). Из всех минусовых клеток вычтем это значение, а ко всем плюсовым клеткам прибавим это значение: 50-20=30, 70-50=20, 20-20=0, 0+20=20, 120+20=140, 90+20=110.

Итак, получим новый план:

	В1	В2	В3	В4
А1	7	8	1 50	2 110
А2	4 120	5 20	9	8
А3	9	2 30	3 140	6

Данный план (опорный план по методу аппроксимации Фогеля) является оптимальным.

Задание 3.

На четыре базы A₁, A₂, A₃, A₄ поступил однородный груз в количествах, соответственно равных 30+m, 25, 15+2n и 30 единиц. Этот груз требуется перевезти в три пункта назначения B₁, B₂, B₃ соответственно в количествах 40, 20+m+2n и 40 единиц. Тарифы перевозок единицы груза с каждого из пунктов отправления в соответствующие пункты назначения указаны в транспортной таблице.

Пункты отправления	Пункты назначения				Запасы
	B1	B2	B3
A1	3	5	4	30+m
A2	2	6	3	25
A3	4	2	4	15+2n
A4	6	3	2	30
Потребности	40	20+m+2n	40	100+m+2n

Опорный план найти методом минимального элемента и оптимизировать методом потенциалов.