Транспортная задача. Общие понятия

Одним из основных понятий в прикладной математике является понятие «сеть». Раздел прикладной математики, изучающий сетевые модели, называется сетевым планированием.

Основными примерами сетевых задач можно назвать следующие:

- транспортная задача (система «производители-потребители»);

- задача назначений («работы-исполнители»);

- задача о кратчайшем пути (с выбором промежуточных пунктов);

- задача коммивояжера (агент по сбыту должен посетить n городов по одному разу).

Сеть представляет собой линейный граф, состоящий из узлов (вершин, точек) и множества дуг (ребер, звеньев), соединяющих различные пары узлов. На каждой дуге задана ориентация (направление). Таким образом, сеть является ориентированным графом.

Последовательность дуг без учета ориентации из узла i в узел j называется путем между узлами. Если i=j, то путь называется контуром.

Сеть называется связной, если между любой парой узлов существует хотя бы один путь.

Путь с учетом ориентации называется ориентированной цепью. Ориентированная цепь, начинающаяся и заканчивающаяся в одном и том же узле, называется ориентированным циклом. Ациклическая сеть не содержит ни одного ориентированного цикла.

Дерево – это связная сеть, содержащая p узлов, p-1 дугу и ни одного контура.

Математическая постановка транспортной задачи

Транспортная задача является типовой задачей для промышленных фирм, имеющих несколько предприятий, складов, рынков сбыта и оптовых баз. В основе транспортной задачи лежит двудольная сеть. Для двудольной сети характерно наличие двух непересекающихся множеств узлов G₁ (предприятия, поставщики) и при этом каждая дуга начинается в узле множества G₁ и заканчивается в узле множества G₂ (потребители, оптовые базы).

Введем следующие обозначения:

a_i– запас груза в i-ом пункте отправления;

b_j – потребность в j-ом пункте назначения;

c_ij – тариф перевозки единицы груза из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения;

x_ij – количество единиц груза, перевезенного из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения;

Q – целевая функция (затраты на перевозку всех грузов).

Тогда транспортная задача математически будет записана в следующем виде:

– план ТЗ

является оптимальным планом ТЗ с минимальным значением целевой функции Q.

Транспортную задачу легко представить в виде таблицы, в основных ячейках которой записываются два числа тариф c_ij и количество перевозимого груза x_ij. В последнем столбце таблицы записываются суммы перевозимых грузов для данного пункта отправления (запасы), в последней строке записываются суммы перевозимых грузов для данного пункта назначения (потребности).

Таблица. Табличное представление транспортной задачи

Пункты назначений Пункты отправлений	B1	B2	…	Вj	…	Bn	Запасы
A1	с11 х11	с12 х12	…	c1j x1j	…	c1n x1n	a1
:	:	:	:	:	:	:	:
Ai	ci1 xi1	ci2 xi2	…	cij xij	…	cin xin	ai
…	…	…	…	…	…	…	…
Am	cm1 xm1	cm2 xm2	…	cmj xmj	…	cmn xmn	am
Потребности	b1	b2	…	bj	…	bn

Общее наличие груза у поставщиков составляет , а общая потребность в грузе у потребителей равна. Если выполняется условие, то такая транспортная задача называется закрытой, в противном случае – открытой.

Необходимым и достаточным условием разрешимости транспортной задачи является ее закрытость.

Открытую транспортную задачу легко свести к закрытой. Так, если , то вводят-й пункт назначения (склад) с потребностью. Если, то вводят фиктивный-й пункт отправления (конкурент) с запасом груза.

Мы будем рассматривать только закрытые Т3. При этом число переменных равноn*m, а число уравненийравно n+m-1 (число столбцов плюс число строк минус условие закрытости транспортной задачи).

План называется невырожденным, если число отличных от нуля переменных равно в точности n+m-1, в противном случае вырожденным, когда число отличных от нуля переменных меньше, чем n+m-1.

Решение транспортной задачи обычно осуществляется в две стадии:

- сначала нужно определить опорный план (метод северо-западного угла, метод минимального элемента, метод аппроксимации Фогеля);

- затем оптимизировать полученный план (метод потенциалов).

Существуют методы, которые совмещают процессы составления и оптимизации плана транспортной задачи (метод дифференциальных рент).

1. Постановка транспортной задачи.

2. Табличное представление транспортной задачи. Этапы решения транспортной задачи.

3. Открытые и закрытые транспортные задачи. Число уравнений и число переменных в транспортной задаче. Вырожденный и невырожденный планы транспортной задачи.

4. Классификация методов решения транспортной задачи. Устранение неоднозначности при условии одинаковых тарифов.