Методы нахождения опорного плана

Рассмотрим наиболее простые методы составления опорного плана транспортной задачи: методы северо-западного угла, минимального элемента и Фогеля.

1. Метод северо-западного угла

Суть метода северо-западного угла заключается в следующем: начиная с левого верхнего угла, используя запасы поставщиков, полностью удовлетворяют потребности потребителей.

Рассмотрим все три метода на одном примере.

Пример: Четыре предприятия используют три вида сырья. Потребности предприятий: 120, 50, 190 и 110 единиц. Запасы сырья: 160, 140, 170. Составить план перевозок с минимальной стоимостью, тарифы которых задаются матрицей:

.

Данная транспортная задача является закрытой, так как сумма запасов 160+140+170 равна сумме потребностей 120+50+190+110=470. Опорный план должен содержать 3+4-1=6 заполненных клеток.

Начинаем заполнение таблицы с клетки А₁B₁. После заполнение этой клетки переходим к заполнению клетки А₂B₁, которой требуется 50, 10 берем у второго производителя, при этом остается 130. Так как третьему потребителю нужно 190, недостающие 60 берем у третьего производителя, после чего у него останется 110, что и нужно для удовлетворения потребностей B₄. В результате все запасы исчерпаны, и все потребности удовлетворены.

Предприятия Сырьё	B1	B2	B3	B4	Запасы
А1	7 1200	8 40	1	2	160
А2	4	5 10	9 130	8	140
А3	9	2	3 60	6 110	170
Потребности	120	50	190	110	470

Таким образом, опорный план по методу северо-западного угла задается следующей матрицей Х=, а значение целевой функции равноQ=7*120+8*40+5*10+9*130+3*60+6*110=2010 ед.

Метод северо-западного угла не ориентируется на тарифы, и опорный план далек от оптимальности. Данный метод обладает простотой составления опорного плана.

2. Метод минимального элемента

Метод, позволяющий составить более оптимальный опорный план, должен учитывать значения тарифов заполняемых клеток. Таким методом является метод минимального элемента. На каждом шаге выбирают клетку с минимальным тарифом и рассматривают пункты назначения и пункты отправлений, соответствующие выбранной клетке, заполняя ее, исчерпав запасы или удовлетворив все потребности.

Предприятие сырьё	B1	B2	B3	B4	запасы
A1	7	8	1 160	2	160
A2	4 120	5	9	8 20	140 20
A3	9	2 50	3 30	6 90	170 120 90
Потребности	120	50	190 30	110	470

На первом шаге минимальным тарифом будет c₁₃=1. Рассмотрим клетку А₁B₃. Запасы первого поставщика составляют 160, а третьему потребителю нужно 190. Исчерпав все запасы, из рассмотрения исключим первую строку, при этом третьему потребителю нужно еще 30.

На втором шаге в двух оставшихся строках минимальным будет тариф c₃₂=2. Потребности второго предприятия составляют 50, которые полностью удовлетворяются третьим поставщиком, у которого остается еще 120. Таким образом, на втором шаге исключается из рассмотрения второй столбец.

Минимальный тариф в оставшихся клетках равен c₃₃=3. Удовлетворив оставшиеся 30 за счет третьего поставщика, исключаем из рассмотрения третий столбец, при этом у третьего поставщика останется в запасах 90 единиц.

В следующем шаге участвуют клетки А₂B₁, А₂B₄, А₃B₁ и А₃B₄. Минимальный тариф находится в клетке А₂B₁c₂₁=4. Полностью удовлетворив потребности первого потребителя (120 ед.), вычеркиваем из рассмотрения первый столбец, при этом у второго поставщика останется 20 единиц груза.

На последнем шаге последовательно заполняем ячейки А₃B₄ (90 ед.) и А₂B₄ (20 ед.).

Таким образом, по методу минимального элемента опорный план имеет следующий вид Х, а значение целевой функции равно Q=1*160+4*120+8*20+2*50+3*30+6*90=1530 единиц.

При существовании нескольких ячеек с одинаковыми тарифами заполнение начинается с удовлетворения максимальных потребностей и с левого верхнего угла таблицы.