- •Методические указания
- •Программа 1‑й части курса
- •Раздел I «Элементы теории вероятностей и математической статистики»
- •Введение
- •1.2 Непосредственный подсчёт вероятностей
- •1.3 Относительная частота. Теорема бернулли
- •1.4 Сумма событий. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий
- •1.5 Произведение событий. Теорема умножения
- •1.6 Теорема сложения для совместных событий
- •1.7 Многократные испытания. Формула бернулли
- •2 Случайные величины и законы распределения их вероятностей
- •2.1 Виды случайных величин
- •2.2 Формы задания закона распределения дискретных случайных величин
- •2.3 Формы задания закона распределения для непрерывных случайных величин
- •2.4 Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал
- •2.5 Числовые характеристики случайной величины. Математическое ожидание
- •2.6 Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение
- •3 Нормальный закон распределения
- •3.1 Нормальный закон и его основные параметры
- •3.2 Понятие о центральной предельной теореме
- •3.3 Вероятность попадания нормально распределённой случайной величины на заданный интервал
- •3.4 Интеграл вероятностей
- •3.5 Дополнительные характеристики разброса случайной величины
- •4 Элементы математической статистики
- •4.1 Основные задачи. Понятия
- •4.2 Числовые характеристики
- •4.3 Дополнительные характеристики: асимметрия и эксцесс
- •4.4 Определение закона распределения на основе опытных данных
- •4.5 Критерий согласия пирсона
- •4.6 Оценивание параметров
- •4.7 Доверительные интервалы и доверительная вероятность
- •5 Элементы корреляционного анализа
- •5.1 Понятие о статистических связях
- •5.2 Коэффициент корреляции
- •5.3 Уравнение регрессии
- •3. Составим уравнение регрессии на d:
4.5 Критерий согласия пирсона
В качестве меры расхождения между кривой и гистограммой К. Пирсон предложил вычислять величину
, |
61361\* MERGEFORMAT (.) |
где mi — практическое число значений хi в i‑м интервале; k — число интервалов; — теоретическое число значений хi, ожидаемое в i‑м интервале при подобранном распределении ;рi — теоретическая вероятность попадания в i‑й интервал, определяемая, например, для нормального закона по формуле 240.
Величина 2 подчинена "хи-квадрат" распределению, зависящему от одного параметра r, называемого числом степеней свободы:
, |
62362\* MERGEFORMAT (.) |
где k — число интервалов, s — число параметров, оцениваемых по выборке.
Степень согласованности статистического распределения с теоретическим оценивается вероятностью Р, полученной из таблиц Приложения E по величинам r и 2.
Критическим значением вероятности считают [1,стр.79].
Поэтому, если полученное из таблиц значение вероятности окажется меньше критического уровня значимости, т.е. , то делают вывод о том, что результаты опыта следует считать противоречащими гипотезе о предполагаемом законе распределения вида.
4.6 Оценивание параметров
При малом числе измерений нельзя решить задачу определения закона распределения, можно лишь найти оценки и(приближённые значения неизвестных основных параметрови).
Оценкой неизвестного параметраа называют любую функцию элементов выборки.
Наилучшей из всех возможных значений оценок называют такую оценку, для которой выполняются свойства:
состоятельности, т.е.
;
несмещённости, т.е.
;
(невыполнение этого требования приводит к систематической ошибке в оценке параметра);
эффективности, т.е.
Последнее свойство означает выбор из всех оценок оценки с минимальной дисперсией, т. е. наиболее точной оценки.
Можно доказать, что, "наилучшей" оценкой для неизвестного математического ожидания является среднее арифметическое351.
4.7 Доверительные интервалы и доверительная вероятность
Оценка неизвестного параметра одним числом, например, по формуле 351, называется точечной оценкой. Недостаток такой оценки состоит в том, что точечная оценка является величиной случайной и не совпадает с параметром а, особенно при малом числе измерений. Более совершенным является способ оценивания с помощью доверительных интервалов. В задачу интервального оценивания входит построение интервала, который с заранее выбранной доверительной вероятностью накрывает неизвестное точное значение параметра. — близкая к единице вероятность, принимаемая в практических расчётах равной 0,90÷0,95.
Так, доверительный интервал для математического ожидания при известном среднем квадратическом отклонении строят по формуле
, |
63363\* MERGEFORMAT (.) |
где
и ,
t выбирается из таблиц интеграла вероятностей (Приложение B) по заданной вероятности .
Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном среднем квадратическом отклонении строят по формуле:
, |
64364\* MERGEFORMAT (.) |
где
; ;.
Коэффициент t определяют по заданной вероятности и числу степеней свободыв таблице распределения Стьюдента (ПриложениеD).
5 Элементы корреляционного анализа
5.1 Понятие о статистических связях
654Equation Section (Next)Существует две формы зависимости между величинами Х и Y: функциональная и статистическая.
Функциональной зависимостью между двумя величинами Х и Y называют такую зависимость, при которой каждому значению Х соответствуют значения Y, которые можно точно указать (например: ,и т.д.).
Статистической зависимостью между величинами Х и Y называют такую зависимость, при которой каждому значению Х соответствует распределение значений Y, изменяющееся вместе с изменением Х.
Частным случаем статистической связи является прямолинейная корреляционная зависимость, при которой с изменением Х изменяется математическое ожидание Y по линейному закону.