2.3 Формы задания закона распределения для непрерывных случайных величин

1. Функция распределения.

Для непрерывной случайной величины график функции распределения (рис. 2.3) имеет форму плавной кривой.

Свойства функции распределения:

1. ;

2. ;

3. , если .

Рис. 2.3 — Функция распределения непрерывной величины

2. Плотность распределения определяется как производная от функции распределения, т.е.

.	17117\* MERGEFORMAT (.)

Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения (рис. 2.4).

Свойства плотности:

1. , т.е. плотность есть неотрицательная функция;

2. , т.е. площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, всегда равна 1.

Если все возможные значения случайной величины Х заключены в пределах от a до b, то второе свойство плотности примет вид:

.

Рис. 2.4 — Кривая распределения

2.4 Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал

На практике часто оказывается необходимым знать вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключённое в некоторых пределах, например, от  до . Искомая вероятность для дискретной случайной величины Х определяется по формуле

,	18118\* MERGEFORMAT (.)

при этом условились левую границу  включать в участок , а правую β— не включать.

Для непрерывной случайной величины Х формула 118 примет вид:

,	19119\* MERGEFORMAT (.)

так как вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю: .

Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х на интервал (,) определяется также выражением:

.	20120\* MERGEFORMAT (.)

Эта вероятность численно равна заштрихованной площади на рис. 2.4.

Выразим функцию распределения через плотность. Функция распределения определяется выражением 115, а, учитывая 120, получаем формулу для вычисления функции распределения непрерывной случайной величины

,	21121\* MERGEFORMAT (.)

где х в верхнем пределе интегрирования представляет собой конкретное значение аргумента.

Задача 2.2. В условиях задачи 2.1 найти вероятность того, что число попаданий в мишень будет находиться в пределах от 1 до 3 (т.е. будет равно или 1, или 2).

Решение. На основании 118 имеем

.

Действительно,

.

Задача 2.3. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти плотность , а также вероятность того, что в результате испытания случайная величинаХ примет значение, заключённое в интервале .

Решение:

1. 

2. Вероятность попадания случайной величины Х в интервал определяем по формуле 120. Принимаяи, находим

или по формуле 119

.

2.5 Числовые характеристики случайной величины. Математическое ожидание

Закон распределения характеризует полностью случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако при решении ряда задач достаточно бывает указать только отдельные числовые параметры, характеризующие основные черты распределения; например, какое-то среднее значение (центр распределения), около которого группируются возможные значения случайной величины, или, например, число, характеризующее степень разброса этих значений относительно среднего, и т.д.

Математическое ожидание служит характеристикой центра распределения случайной величины. Применяют обозначения: или.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности

.	22122\* MERGEFORMAT (.)

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х определяется по формуле

.	23123\* MERGEFORMAT (.)

Свойства математического ожидания:

1. , где С — постоянная величина;

2. 

3. ;

4. , если — взаимно независимые случайные величины.