- •Методические указания
- •Программа 1‑й части курса
- •Раздел I «Элементы теории вероятностей и математической статистики»
- •Введение
- •1.2 Непосредственный подсчёт вероятностей
- •1.3 Относительная частота. Теорема бернулли
- •1.4 Сумма событий. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий
- •1.5 Произведение событий. Теорема умножения
- •1.6 Теорема сложения для совместных событий
- •1.7 Многократные испытания. Формула бернулли
- •2 Случайные величины и законы распределения их вероятностей
- •2.1 Виды случайных величин
- •2.2 Формы задания закона распределения дискретных случайных величин
- •2.3 Формы задания закона распределения для непрерывных случайных величин
- •2.4 Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал
- •2.5 Числовые характеристики случайной величины. Математическое ожидание
- •2.6 Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение
- •3 Нормальный закон распределения
- •3.1 Нормальный закон и его основные параметры
- •3.2 Понятие о центральной предельной теореме
- •3.3 Вероятность попадания нормально распределённой случайной величины на заданный интервал
- •3.4 Интеграл вероятностей
- •3.5 Дополнительные характеристики разброса случайной величины
- •4 Элементы математической статистики
- •4.1 Основные задачи. Понятия
- •4.2 Числовые характеристики
- •4.3 Дополнительные характеристики: асимметрия и эксцесс
- •4.4 Определение закона распределения на основе опытных данных
- •4.5 Критерий согласия пирсона
- •4.6 Оценивание параметров
- •4.7 Доверительные интервалы и доверительная вероятность
- •5 Элементы корреляционного анализа
- •5.1 Понятие о статистических связях
- •5.2 Коэффициент корреляции
- •5.3 Уравнение регрессии
- •3. Составим уравнение регрессии на d:
2 Случайные величины и законы распределения их вероятностей
2.1 Виды случайных величин
141Equation Section (Next)Случайные величины принято обозначать большими буквами конца латинского алфавита: X, Y, Z, а их возможные значения — малыми буквами с индексами, например: .
Случайные величины могут быть дискретными (прерывными) и непрерывными.
Дискретной называют такую случайную величину, возможные значения которой можно заранее указать (например, число попаданий при n выстрелах; число выпадений герба при одном бросании монеты и т.д.).
Непрерывной называют случайную величину, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток и не могут быть перечислены заранее (например, координаты точек попадания при стрельбе; ошибки результатов измерений и т.д.).
Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называют законом распределения вероятностей.
2.2 Формы задания закона распределения дискретных случайных величин
Таблица (ряд) распределения — простейшая форма задания закона распределения дискретных случайных величин.
x |
x1 |
x2 |
x3 |
… |
xn |
xi — возможные значения случайной величины X, pi — соответствующие им вероятности. | |
P |
p1 |
p2 |
p3 |
… |
pn | ||
|
|
, так как в таблице перечислены все возможные значения случайной величины.
Многоугольник распределения. При графическом изображении ряда распределения в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают все возможные значения случайной величины, а по оси ординат — соответствующие им вероятности. Затем наносят точки и соединяют их прямолинейными отрезками. Полученная фигура —многоугольник распределения — также является формой задания закона распределения дискретной случайной величины.
Функция распределения — вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее некоторого заданного х, т.е
. |
15115\* MERGEFORMAT (.) |
С геометрической точки зрения можно рассматривать как вероятность попадания случайной точкиХ на участок числовой оси, расположенный левее фиксированной точки х.
Свойства функции распределения:
;
; ;
, если .
Задача 2.1. Случайная величина Х — число попаданий в мишень при 3‑х выстрелах (см. задачу 1.5). Построить ряд распределения, многоугольник распределения, вычислить значения функции распределения и построить её график.
Решение:
Ряд распределения случайной величины Х представлен в таблице
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
p |
0,34 |
0,44 |
0,19 |
0,03 |
Выбрав произвольно масштаб по осям х и р, строим многоугольник распределения (рис. 2.1).
Рис. 2.1 — Многоугольник распределения
Функция распределения. Для дискретной величины Х значения функции распределения вычисляют по формуле
. |
16116\* MERGEFORMAT (.) |
Находим:
При |
, |
При |
, |
При |
, |
При | |
при |
. |
Откладывая по оси абсцисс значения х, а по оси ординат — значения и выбрав определённый масштаб, получим график функции распределения (рис. 2.2). Функция распределения дискретной случайной величины имеет скачки (разрывы) в тех точках, в которых случайная величинаХ принимает конкретные значения, указанные в таблице распределения. Сумма всех скачков функции распределения равна единице.
Рис. 2.2 — Функция распределения дискретной величины