- •О.Ю. Горлова, в.И. Самарин
- •Лабораторная работа №1 Матрицы и определители
- •Задания
- •Справочный материал
- •12. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы:
- •15. Свойства определителей:
- •17. Матричный метод нахождения обратной матрицы:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 2 Системы линейных алгебраических уравнений
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 3 Векторы
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 4 Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы
- •Задание
- •Справочный материал
- •10. Идентификация собственных векторов и собственных значений матрицы:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 5 Прямая и плоскость
- •Задания
- •Справочный материал
- •1. Уравнения прямой на плоскости:
- •4. Уравнения плоскости:
- •7. Уравнения прямой в пространстве:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 6 Кривые второго порядка
- •Задания
- •Справочный материал
- •Гипербола
- •Парабола
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 7 Пределы и непрерывность функций одной переменной
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 8 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Литература
- •Оглавление
- •Горлова Ольга Юрьевна,
Лабораторная работа № 4 Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы
Теоретический минимум
1. Линейная зависимость векторов.
2. Линейная независимость векторов.
3. Критерий линейной независимости векторов.
4. Базис пространства.
5. Ортогональный базис.
6. Ортонормированный базис.
7. Собственный вектор матрицы.
8. Собственное значение матрицы.
Задание
Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A:
№ |
Матрица A |
№ |
Матрица A |
№ |
Матрица A |
1 |
11 |
21 | |||
2 |
12 |
22 | |||
3 |
13 |
23 | |||
4 |
14 |
24 | |||
5 |
15 |
25 | |||
6 |
16 |
26 | |||
7 |
17 |
27 | |||
8 |
18 |
28 | |||
9 |
19 |
29 | |||
10 |
20 |
30 |
Справочный материал
к 4-й лабораторной работе
1. Линейная комбинация векторов – сумма векторов с произвольными числовыми коэффициентами: λ1∙a1 + λ2∙a2 + … + λn∙an.
2. Линейно зависимые векторы – совокупность векторов, хотя бы один из которых может быть представлен в виде линейной комбинации остальных, в противном, векторы данной совокупности называются линейно независимыми.
3. Базис пространства – упорядоченная система максимально возможного числа линейно независимых векторов в этом пространстве. Число векторов, образующих базис пространства, определяет размерность этого пространства: в двумерном пространстве (на плоскости) в качестве базиса могут служить любые два неколлинеарных вектора, в трехмерном пространстве – любые три некомпланарных вектора.
4. Разложение вектора по базису пространства: представление вектора в виде линейной комбинации векторов базиса, так, если векторы q1, q2, … , qn образуют базис в n-мерном пространстве, то любой вектор а в этом пространстве можно единственным образом представить в виде: a = а1 q1 + а2 q2 + … + аn qn, при этом коэффициенты {a1; a2; …; an} называются координатами вектора a в этом базисе.
5. Критерий линейной независимости т векторов в п-мерном пространстве: т векторов (т п) являются линейно независимыми, если ранг матрицы, строки которой – координаты этих векторов в базисе их задания, равен т. В частности, п векторов в п-мерном пространстве линейно независимы, если определитель, строки которого – координаты этих векторов, не равен 0; если же этот определитель равен 0, то соответствующие п векторов линейно зависимы.
6. Ортогональный базис – базис пространства, состоящий из взаимно ортогональных векторов, т.е. для всех пар взаимно ортогональных векторов базиса скалярное произведение qiqj = 0 (i j).
7. Нормирование вектора q – нахождение единичного вектора того же направления, что и вектор q: е = q.
8. Ортонормированный базис – базис пространства, состоящий из взаимно ортогональных векторов единичной длины.
9. Собственный вектор и собственное значение матрицы: если в результате произведения квадратной матрицы А на ненулевой вектор-столбец p получается вектор-столбец р, где – число, т.е. если Ар = р, то р называется собственным вектором матрицы А, а число – собственным значением этой матрицы.