- •О.Ю. Горлова, в.И. Самарин
- •Лабораторная работа №1 Матрицы и определители
- •Задания
- •Справочный материал
- •12. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы:
- •15. Свойства определителей:
- •17. Матричный метод нахождения обратной матрицы:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 2 Системы линейных алгебраических уравнений
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 3 Векторы
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 4 Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы
- •Задание
- •Справочный материал
- •10. Идентификация собственных векторов и собственных значений матрицы:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 5 Прямая и плоскость
- •Задания
- •Справочный материал
- •1. Уравнения прямой на плоскости:
- •4. Уравнения плоскости:
- •7. Уравнения прямой в пространстве:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 6 Кривые второго порядка
- •Задания
- •Справочный материал
- •Гипербола
- •Парабола
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 7 Пределы и непрерывность функций одной переменной
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 8 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Литература
- •Оглавление
- •Горлова Ольга Юрьевна,
Справочный материал
к 5-й лабораторной работе
1. Уравнения прямой на плоскости:
общее уравнение прямой l: Ax + By + C = 0, где A, B, С – числа, A2 + B2 ¹ 0; нормальный вектор прямой N = {A; B} l; направляющий вектор прямой а = {B; – A} || l; N l;
уравнение прямой, проходящей через точку М(x0;y0) перпендикулярно вектору N = {A; B}: A(x – х0) + B(y – y0) = 0;
уравнение прямой, проходящей через точку М(x0;y0) с заданным направляющим вектором a = {ax; ay} (каноническое уравнение прямой): ;
уравнение прямой, проходящей через две точки М1(x1; y1) и М2(x2; y2) при x1 ¹ x2 и y1 ¹ y2:
или = 0
(при x1 = x2 и y1 y2 уравнение прямой имеет вид x = x1, а при y1 = y2 и x1 x2 – вид y = y1);
уравнение прямой с угловым коэффициентом k = tg j , где j – угол между прямой и положительным направлением оси х, отсчитываемый от этой оси против часовой стрелки: y = kx + b, число b – ордината точки пересечения прямой с координатной осью y;
уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку М(x0; y0):
y – y0 = k(x – x0);
уравнение прямой в отрезках, не проходящей через начало координат: , гдеа – абсцисса точки пересечения прямой с координатной осью х, b – ордината точки пересечения прямой с координатной осью y;
нормальное уравнение прямой: хcos + ysin – p = 0,
где p – расстояние от начала координат до прямой, – угол
между осью Ох и перпендикуляром к прямой из начала коор-
динат (длиной р 0); чтобы составить нормальное уравнение
прямой, заданной общим уравнением Ax + By + C = 0, доста-
точно разделить данное уравнение на , причем верх-
ний знак берется, когда С > 0, а нижний – когда С < 0; если же
С = 0, то выбор знака не имеет значения;
полярное уравнение прямой: ()= р/cos( – ), где р 0;
параметрические уравнения прямой с направляющим вектором a = {ax; ay}, проходящей через точку М(x0; y0):
2. Расстояние от точки Р(x0; y0) до прямой Ax + By + C = 0 (т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки Р(x0; y0) на прямую): .
3. Косинус острого угла a между прямыми A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0 на плоскости (угол между векторами N1 = {A1; B1} и N2 = {A2; B2}): .
4. Уравнения плоскости:
общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, С, D –числа, A2 + B2 + С2 ¹ 0; нормальный вектор плоскости N = {A; B; С} плоскости;
уравнение плоскости, проходящей через точку М(x0; y0; z0) перпендикулярно вектору N = {A; B; С}: A(x – х0) + B(y – y0) + С(z – z0) = 0;
уравнение плоскости в отрезках – уравнение плоскости, не проходящей через начало координат: , гдеа – абсцисса точки пересечения плоскости с координатной осью х, b – ордината точки пересечения плоскости с координатной осью y, с – аппликата точки пересечения плоскости с координатной осью z;
уравнение плоскости, проходящей через три точки М1(x1; y1; z1), М2(x2; y2; z2) и М3(x3; y3; z3), не лежащих на одной прямой: = 0;
нормальное уравнение плоскости: x×cos a + y×cos b + z×cos g – p = 0, где cos a, cos b, cos g – направляющие косинусы нормального вектора плоскости N = {A; B; С}, исходящего из начала координат, т.е. косинусы углов между указанным вектором N и положительными направлениями координатных осей x, y, z соответственно; чтобы найти нормальное уравнение плоскости, заданной общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, достаточно разделить данное уравнение на , причем верхний знак берется, когдаD > 0, а нижний – когда D < 0; если же D = 0, то выбор знака не имеет значения.
Уравнение плоскости Q |
Ориентация плоскости Q в пространстве |
Ax + By + Cz = 0 |
плоскость Q проходит через начало координат |
By + Cz + D = 0 |
плоскость Q параллельна координатной оси х |
Ax + Cz + D = 0 |
плоскость Q параллельна координатной оси y |
Ax + By + D = 0 |
плоскость Q параллельна координатной оси z |
x = a |
плоскость Q оси х (т.е. параллельна координатной плоскости yz) и пересекает ось x в точке x = a |
y = b |
плоскость Q оси у (т.е. параллельна координатной плоскости xz) и пересекает ось y в точке y = b |
z = с |
плоскость Q оси z (т.е. параллельна координатной плоскости xy) и пересекает ось z в точке z = с |
x = 0 |
плоскость Q – координатная плоскость yz |
y = 0 |
плоскость Q – координатная плоскость xz |
z = 0 |
плоскость Q – координатная плоскость xy |
5. Расстояние от точки Р(x0; y0; z0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0: .
6. Косинус острого угла j между плоскостями A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0:
,
где N1 = {A1; B1; С1} и N2 = {A2; B2; С2} – нормальные векторы 1-й и 2-й плоскости, соответственно.