- •О.Ю. Горлова, в.И. Самарин
- •Лабораторная работа №1 Матрицы и определители
- •Задания
- •Справочный материал
- •12. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы:
- •15. Свойства определителей:
- •17. Матричный метод нахождения обратной матрицы:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 2 Системы линейных алгебраических уравнений
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 3 Векторы
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 4 Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы
- •Задание
- •Справочный материал
- •10. Идентификация собственных векторов и собственных значений матрицы:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 5 Прямая и плоскость
- •Задания
- •Справочный материал
- •1. Уравнения прямой на плоскости:
- •4. Уравнения плоскости:
- •7. Уравнения прямой в пространстве:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 6 Кривые второго порядка
- •Задания
- •Справочный материал
- •Гипербола
- •Парабола
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 7 Пределы и непрерывность функций одной переменной
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 8 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Литература
- •Оглавление
- •Горлова Ольга Юрьевна,
Справочный материал
к 7-й лабораторной работе
Функция (числовая функция) у = у(х) – зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению х соответствует единственное значение у; независимая переменная х называется аргументом функции.
Числовая последовательность – функция, областью определения которой является множество натуральных чисел; числовая последовательность обозначается как {un}, n .
Монотонная числовая последовательность – возрастающая последовательность (т.е. последовательность {un}, в которой un un +1 для всех п) или убывающая последовательность (т.е. последовательность {un}, в которой un un +1 для всех п).
Ограниченная числовая последовательность – последовательность {un}, для которой существует такое число С , что |un| C для всех n.
Предел числовой последовательности {un} – такое конечное число А, что с ростом п величина |un – A| сколь угодно близко приближается к нулю, т.е. для любого сколь угодно маленького числа ε > 0, начиная с некоторого номера N (т.е. при n N) будет выполняться неравенство |un – A| < ε; обозначение предела числовой последовательности:
Теорема Вейерштрасса: если, начиная с некоторого номера N, последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Сходящейся числовая последовательность – последовательность {un}, имеющая конечный предел; неограниченно возрастающая монотонная последовательность (обозначение: ), неограниченно убывающая монотонная последовательность (обозначение: ) и последовательность, для которой предела не существует, называется расходящейся.
Бесконечно большие последовательности – последовательности {un}, для которых или ; обозначение бесконечно больших последовательностей: .
Бесконечно малые последовательности – последовательности {un}, для которых .
Предел функции у = у(х) в точке х = х0 – такое конечное число А, что для любой бесконечной последовательности точек {xn} на оси х, сходящейся к точке х = х0, т.е. когда = х0, соответствующая последовательность {yn = y(хn)} сходится к точке y = А, т.е. когда = А; обозначение предела функции у = у(х) в точке х = х0: = А. Число А называется пределом функции y = y(x) при х + ∞, если с ростом х значение функции подходит как угодно близко к А: = А; если же при х – ∞, значение функции y = y(x) стремится к числу В, то = В; если А = В, то обозначение предела функции: = = А.
Бесконечно большая – функция y= y(х), для которой =∞, где х0 – конечное число или ∞ (т.е. один из символов + ∞, или – ∞).
Бесконечно малая в окрестности точки х = х0 – функция y= y(х), для которой = 0, где х0 – конечное число; бесконечно малая на бесконечности – функция y= y(х), для которой = 0,где один из символов + ∞, или – ∞.
Бесконечно малые одного порядка в окрестности точки х0 – бесконечно малые у1(х) и у2(х), предел отношения которых в точке х = х0 равен конечному числу А ≠ 0; если = 0, тоу1(х) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем у2(х), что обозначается как: у1(х) = ο(у2(х)).
Эквивалентные бесконечно малые в окрестности точки х = х0 – бесконечно малые у1(х) и у2(х), предел отношения которых в точке х = х0 равен 1 (обозначение эквивалентных малых: у1(х) ~ у2(х)). Примеры эквивалентных малых в окрестности точки х = 0: sin α(х) ~ tg α(х) ~ arcsin α(х) ~ arctg α(х) ~ eα(х) – 1 ~ α(х); a α(х) – 1 ~ α(х)·ln a; ln(1 ± α(х)) ~ ± α(х); loga(1 ± α(х)) ~; (1 ± α(х))a – 1 ~ ± a·α(х); 1 – cos α(х) ~ .
Таблица некоторых пределов функций:
№№ п/п |
Пределы |
Примечания |
1. |
= = 1 |
1-й замечательный предел |
2. |
= (1∞) = е;= (1∞) = е |
2-й замечательный предел, е 2,7183 |
3. |
= (1∞) = ;= (1∞) = |
|
4. |
== 1; == |
0 < a < + , a ≠ 1 |
5. |
== 1;==ln a |
0 < a < + , a ≠ 1 |
6. |
==a |
a ≠ 0 |
7. |
= (∞0) = 1 |
– ∞ < a < + ∞ |
8. |
= 1, в частности, =1 |
– ∞ < a < + ∞; неопределенность типа ∞0 при 0 < a < + и типа 00 при – < а < 0 |
9. |
= 1 |
0 < a < 1; неопределенности нет: 10 = 1 |
10. |
= 1 |
0 < a < + ; неопределенности нет: С0 = 1 |
11. |
= 0; = +∞ |
0 < a < 1 |
12. |
= +∞; = 0 |
1 < a < + |
13. |
= + ∞ |
0 < a < + |
14. |
= 0 |
– < а < 0 |
15. |
= – ∞ |
0 < a < 1 |
16. |
= + ∞ |
1 < a < + |
Методы вычисления предела функции :
заменить аргумент функции х его предельным значением х0, используя свойства непрерывных функций: = у(х0), где х0 внутренняя или граничная точка области определения непрерывной функции у = у(х): если в результате получено конечное число А или бесконечное значение предела (+ ∞ или – ∞), то предел найден;
если у(х0) представляет неопределенность, то использовать методы ее раскрытия:
– для раскрытия неопределенностей вида и (при этомможно свести к, т.к. отношение бесконечно больших β1/β2 в силу β1 = 1/α1 и β2 = 1/α2, где α1 и α2 – бесконечно малые, можно заменить отношением α2/ α1 = β1/β2):
а) использовать пределы в приведенной таблице непосредственно или после выполнения определенных тождественных преобразований и замены переменной с целью выделения бесконечно малой; в частности, для некоторых выражений, содержащих тригонометрические функции, указанные операции могут привести к 1-му замечательному пределу;
б) если в числителе и (или) в знаменателе функции у(х) многочлены, то: при х 0 оставить в каждом многочлене член с переменной х в минимальной степени; при х ∞ оставить в каждом многочлене член с переменной х в максимальной степени; при х х0 выделить в каждом многочлене множитель (х – х0), представляющий бесконечно малую величину;
в) в числителе и знаменателе функции использовать эквивалентные бесконечно малые;
г) если бесконечно малой является разность, содержащая корни, то следует эту разность умножить и разделить на такое выражение, которое с учетом формул сокращенного умножения позволит вывести бесконечную малую из иррациональности;
для раскрытия неопределенностей вида (0·∞) и (∞ – ∞) можно, если удастся, непосредственно выполнить операции умножения и вычитания, или сначала преобразовать неопределенности к виду или, а затем использовать приемыа) – г);
для раскрытия неопределенности вида (1∞) нужно использовать 2-й замечательный предел (см. таблицу пределов) или формулу, получаемую как следствие этого предела: у(х) = u(x)β(x) = (1∞) = exp[(β(x)·(u(x) – 1))];
для раскрытия неопределенности вида (00) и (∞0) рекомендуется предварительно вычислить предел натурального логарифма функции ln у(х) = A, а затем воспользоваться равенством у(х) = e ln y(x) = = е А.
Примечание: при вычислении пределов числовых последовательностей можно воспользоваться равенством: , если заменить п на непрерывную переменную х, а функцию un = u(n) на у(х).
Свойства пределов:
предел постоянной у(х) = С равен этой постоянной: = С.
= ± [для непрерывных в точке х0 функций = у(х0) + и(х0)];
= · [для непрерывных в точке х0 функций =у(х0) · и(х0)];
= [для непрерывной в точке х0 функции =C·у(х0)];
= [для непрерывных в точке х0 функций = у(х0)/и(х0), если и(х0) ≠ 0];
= ()m [для непрерывной в точке х0 функции =уm(х0)];
= [для непрерывных в точкех0 функций =у(х0)u(x0)].
Односторонние пределы: предел функции у = у(х), получаемый для любой сходящейся к х0 последовательности {xn} при условии, что все xn < x0, называется пределом слева (обозначение предела слева точки х0: = у(х0 – 0) = А); предел функции у = у(х), получаемый для любой сходящейся к х0 последовательности {xn} при условии, что все xn > x0, называется пределом справа (обозначение предела справа точки х0: = у(х0 + 0) = В).
Условие непрерывности функции у = у(х) в точке х = х0: у(х0 – 0) = у(х0 + 0) = у(х0).
Точка разрыва 1-го рода – точка х0, в которой правый и левый пределы функции y = y(х) конечны, но не равны друг другу, или, в случае их равенства, сама функция y = y(х) не определена в точке х0 или ее значение в этой точке у(х0) у(х0 – 0) = у(х0 + 0).
Точка разрыва 2-го рода – точка х0, в которой хотя бы один из односторонних пределов функции y = y(х) равен бесконечности (+ или – ) или не существует.