- •О.Ю. Горлова, в.И. Самарин
- •Лабораторная работа №1 Матрицы и определители
- •Задания
- •Справочный материал
- •12. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы:
- •15. Свойства определителей:
- •17. Матричный метод нахождения обратной матрицы:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 2 Системы линейных алгебраических уравнений
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 3 Векторы
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 4 Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы
- •Задание
- •Справочный материал
- •10. Идентификация собственных векторов и собственных значений матрицы:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 5 Прямая и плоскость
- •Задания
- •Справочный материал
- •1. Уравнения прямой на плоскости:
- •4. Уравнения плоскости:
- •7. Уравнения прямой в пространстве:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 6 Кривые второго порядка
- •Задания
- •Справочный материал
- •Гипербола
- •Парабола
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 7 Пределы и непрерывность функций одной переменной
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 8 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Литература
- •Оглавление
- •Горлова Ольга Юрьевна,
Лабораторная работа № 8 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Теоретический минимум
1. Определение производной функции в точке.
2. Геометрический смысл производной.
3. Механический смысл производной.
4. Правила дифференцирования: производная алгебраической суммы, произведения и частного.
5. Производная параметрически заданной функции.
6. Производная сложной функции.
7. Производные основных элементарных функций.
8. Уравнение касательной к графику функции.
9. Уравнение нормали к графику функции.
10. Правило Лопиталя.
Задания
Вычислить производную функции , где функцииi(x) и j(x) находятся из таблиц:
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
i(x) |
sin x |
cos x |
tg x |
ctg x |
arc sin x |
arc cos x |
arc tg x |
arc ctg x |
j |
1 |
2 |
3 |
4 |
j(x) |
аx k |
a x |
log a x |
аln x |
а значения параметров а, k, m, n и индексов i и j определяются в соответствии с вариантом работы:
№ |
a |
k |
m |
n |
i |
j |
№ |
a |
k |
m |
n |
i |
j |
1 |
3 |
2 |
5 |
2 |
1 |
4 |
16 |
4 |
2 |
2 |
1 |
8 |
2 |
2 |
4 |
2 |
4 |
1 |
2 |
3 |
17 |
5 |
2 |
5 |
2 |
1 |
1 |
3 |
5 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
18 |
6 |
2 |
4 |
1 |
2 |
2 |
4 |
6 |
3 |
2 |
1 |
4 |
1 |
19 |
7 |
3 |
3 |
2 |
3 |
4 |
5 |
7 |
3 |
5 |
2 |
5 |
4 |
20 |
8 |
3 |
2 |
1 |
4 |
4 |
6 |
8 |
2 |
4 |
1 |
6 |
3 |
21 |
9 |
2 |
5 |
2 |
7 |
1 |
7 |
9 |
2 |
3 |
2 |
7 |
2 |
22 |
3 |
2 |
4 |
1 |
6 |
4 |
8 |
3 |
2 |
2 |
1 |
8 |
1 |
23 |
4 |
2 |
3 |
2 |
7 |
3 |
9 |
4 |
3 |
5 |
2 |
1 |
3 |
24 |
5 |
3 |
2 |
1 |
8 |
4 |
10 |
5 |
3 |
4 |
1 |
2 |
4 |
25 |
6 |
3 |
5 |
2 |
1 |
2 |
11 |
6 |
2 |
3 |
2 |
3 |
3 |
26 |
7 |
2 |
4 |
1 |
2 |
1 |
12 |
7 |
2 |
2 |
1 |
4 |
2 |
27 |
8 |
2 |
3 |
2 |
3 |
1 |
13 |
8 |
2 |
5 |
2 |
5 |
2 |
28 |
9 |
2 |
2 |
1 |
8 |
3 |
14 |
9 |
3 |
4 |
1 |
6 |
1 |
29 |
3 |
3 |
5 |
2 |
5 |
3 |
15 |
3 |
3 |
3 |
2 |
7 |
4 |
30 |
4 |
3 |
4 |
1 |
6 |
2 |
Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y (x) = приx = , где значения r, , определяются в соответствии с вариантом работы:
№ |
r |
|
|
№ |
r |
|
|
№ |
r |
|
|
1 |
2 |
5 |
– 3 |
11 |
3 |
7 |
2 |
21 |
4 |
6 |
– 1 |
2 |
3 |
6 |
– 2 |
12 |
4 |
9 |
3 |
22 |
2 |
7 |
1 |
3 |
4 |
7 |
– 1 |
13 |
2 |
– 3 |
– 3 |
23 |
3 |
9 |
2 |
4 |
2 |
9 |
1 |
14 |
3 |
– 4 |
– 2 |
24 |
4 |
– 5 |
3 |
5 |
3 |
– 5 |
2 |
15 |
4 |
3 |
– 1 |
25 |
2 |
– 6 |
– 3 |
6 |
4 |
– 6 |
3 |
16 |
2 |
– 5 |
1 |
26 |
3 |
– 7 |
– 2 |
7 |
2 |
– 7 |
– 3 |
17 |
3 |
– 6 |
2 |
27 |
4 |
– 9 |
– 1 |
8 |
3 |
– 9 |
– 2 |
18 |
4 |
– 7 |
3 |
28 |
2 |
4 |
1 |
9 |
4 |
5 |
– 1 |
19 |
2 |
– 9 |
– 3 |
29 |
3 |
3 |
2 |
10 |
2 |
6 |
1 |
20 |
3 |
5 |
– 2 |
30 |
4 |
– 4 |
3 |
Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y = y(x), заданной параметрически: в точкеМ(х(t0); y(t0)), где x(t), y(t) и t0 определяются в соответствии с вариантом работы:
№ |
x(t) |
y(t) |
t0 |
1 |
4sin 3t |
4cos 3t |
/3 |
2 |
cos t |
sin t |
/3 |
3 |
5(t – sin t) |
5(1 – cos t) |
/3 |
4 |
2t – t 2 |
3t – t 3 |
1 |
5 |
cos t + sin t |
sin 2t |
/4 |
6 |
arc sin |
arc cos |
– 1 |
7 |
t(tcos t – 2sin t) |
t(tsin t + 2cos t) |
/4 |
8 |
2 | ||
9 |
1 + 2ln ctg t |
tg t + ctg t |
/4 |
10 |
0 | ||
11 |
3tcos t |
3tsin t |
/2 |
12 |
sin2t |
cos2t |
/6 |
13 |
arc cos |
arc sin |
1 |
14 |
1 | ||
15 |
2 | ||
16 |
6sin4t |
6cos4t |
/6 |
17 |
3(tsin t + cos t) |
3(sin t – tcos t) |
/4 |
18 |
– 1 | ||
19 |
1 – t 2 |
1 – t 3 |
2 |
20 |
ln(1 + t 2) |
t – arc tg t |
1 |
21 |
t – tsin t |
tcos t |
0 |
22 |
1 | ||
23 |
3cos t |
4sin t |
/4 |
24 |
t – t 4 |
t 2 – t 3 |
1 |
25 |
t 3 + 1 |
t 2 + t + 1 |
1 |
26 |
2cos t |
sin t |
/3 |
27 |
2tg t |
2sin2t + 2sin 2t |
/4 |
28 |
t 3 + 1 |
t 2 |
– 2 |
29 |
sin t |
e t |
0 |
30 |
sin t |
cos 2t |
/6 |
4. Применяя правило Лопиталя, найти , если:
№ |
(x) |
(x) |
a |
1 |
x – arc tg x |
x 3 |
0 |
2 |
– 2arc tg x |
ln | |
3 |
x – sin x |
x – tg x |
0 |
4 |
– 2arc tg x |
ln | |
5 |
– 2arc sin x |
sin 3(x – 1) |
1 |
6 |
e x – e –x |
sin x cos x |
0 |
7 |
1 – sin(x/2) |
ln x |
1 |
8 |
sin(x/2) |
ln (1 – x) |
0 |
9 |
x ln x – x + 1 |
(x – 1)ln x |
1 |
10 |
a 2 – x 2 |
ctg |
a |
11 |
–1 |
cos x – 1 |
0 |
12 |
ln(sin 2x) |
ln(sin x) |
0 |
13 |
xcos x – xsin x |
xsin x |
0 |
14 |
–1 |
0 | |
15 |
a x – b x |
0 | |
16 |
1 – cos 2x |
cos 7x – cos 3x |
0 |
17 |
ln x |
1 + 2ln(sin x) |
+0 |
18 |
e 3x – 3x – 1 |
sin2 5x |
0 |
19 |
cos x ln(x – 3) |
ln (e x – e 3) |
3 + 0 |
20 |
tg(x/2) |
ln(1 – x) |
1 – 0 |
21 |
e x – e –x – 2x |
x – sin x |
0 |
22 |
e 2x – 1 |
arc sin x |
0 |
23 |
e x – 1 – x |
x(e x – 1) |
0 |
24 |
(x – 2)2 |
tg(cos x – 1) |
2 |
25 |
cos x |
/2 | |
26 |
1 – sin x |
(/2 – x)2 |
/2 |
27 |
tg x – x |
sin x – x |
0 |
28 |
1 – |
sin x |
0 |
29 |
ln x |
x a |
|
30 |
ln(1 + x 2) |
ln(/2 – arc tg x) |
|