Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лабораторные ГС (1).doc
Скачиваний:
165
Добавлен:
02.05.2015
Размер:
4.72 Mб
Скачать

Лабораторная работа № 8 Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Теоретический минимум

1. Определение производной функции в точке.

2. Геометрический смысл производной.

3. Механический смысл производной.

4. Правила дифференцирования: производная алгебраической суммы, произведения и частного.

5. Производная параметрически заданной функции.

6. Производная сложной функции.

7. Производные основных элементарных функций.

8. Уравнение касательной к графику функции.

9. Уравнение нормали к графику функции.

10. Правило Лопиталя.

Задания

  1. Вычислить производную функции , где функцииi(x) и j(x) находятся из таблиц:

i

1

2

3

4

5

6

7

8

i(x)

sin x

cos x

tg x

ctg x

arc sin x

arc cos x

arc tg x

arc ctg x

j

1

2

3

4

j(x)

аx k

a x

log a x

аln x

а значения параметров а, k, m, n и индексов i и j определяются в соответствии с вариантом работы:

a

k

m

n

i

j

a

k

m

n

i

j

1

3

2

5

2

1

4

16

4

2

2

1

8

2

2

4

2

4

1

2

3

17

5

2

5

2

1

1

3

5

2

3

2

3

2

18

6

2

4

1

2

2

4

6

3

2

1

4

1

19

7

3

3

2

3

4

5

7

3

5

2

5

4

20

8

3

2

1

4

4

6

8

2

4

1

6

3

21

9

2

5

2

7

1

7

9

2

3

2

7

2

22

3

2

4

1

6

4

8

3

2

2

1

8

1

23

4

2

3

2

7

3

9

4

3

5

2

1

3

24

5

3

2

1

8

4

10

5

3

4

1

2

4

25

6

3

5

2

1

2

11

6

2

3

2

3

3

26

7

2

4

1

2

1

12

7

2

2

1

4

2

27

8

2

3

2

3

1

13

8

2

5

2

5

2

28

9

2

2

1

8

3

14

9

3

4

1

6

1

29

3

3

5

2

5

3

15

3

3

3

2

7

4

30

4

3

4

1

6

2

  1. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y (x) = приx = , где значения r, ,  определяются в соответствии с вариантом работы:

r

r

r

1

2

5

– 3

11

3

7

2

21

4

6

– 1

2

3

6

– 2

12

4

9

3

22

2

7

1

3

4

7

– 1

13

2

– 3

– 3

23

3

9

2

4

2

9

1

14

3

– 4

– 2

24

4

– 5

3

5

3

– 5

2

15

4

3

– 1

25

2

– 6

– 3

6

4

– 6

3

16

2

– 5

1

26

3

– 7

– 2

7

2

– 7

– 3

17

3

– 6

2

27

4

– 9

– 1

8

3

– 9

– 2

18

4

– 7

3

28

2

4

1

9

4

5

– 1

19

2

– 9

– 3

29

3

3

2

10

2

6

1

20

3

5

– 2

30

4

– 4

3

  1. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y = y(x), заданной параметрически: в точкеМ(х(t0); y(t0)), где x(t), y(t) и t0 определяются в соответствии с вариантом работы:

x(t)

y(t)

t0

1

4sin 3t

4cos 3t

/3

2

cos t

sin t

/3

3

5(t – sin t)

5(1 – cos t)

/3

4

2t t 2

3t t 3

1

5

cos t + sin t

sin 2t

/4

6

arc sin

arc cos

– 1

7

t(tcos t – 2sin t)

t(tsin t + 2cos t)

/4

8

2

9

1 + 2ln ctg t

tg t + ctg t

/4

10

0

11

3tcos t

3tsin t

/2

12

sin2t

cos2t

/6

13

arc cos

arc sin

1

14

1

15

2

16

6sin4t

6cos4t

/6

17

3(tsin t + cos t)

3(sin t tcos t)

/4

18

– 1

19

1 – t 2

1 – t 3

2

20

ln(1 + t 2)

t – arc tg t

1

21

t tsin t

tcos t

0

22

1

23

3cos t

4sin t

/4

24

t t 4

t 2 t 3

1

25

t 3 + 1

t 2 + t + 1

1

26

2cos t

sin t

/3

27

2tg t

2sin2t + 2sin 2t

/4

28

t 3 + 1

t 2

– 2

29

sin t

e t

0

30

sin t

cos 2t

/6

4. Применяя правило Лопиталя, найти , если:

(x)

(x)

a

1

x – arc tg x

x 3

0

2

 – 2arc tg x

ln

3

x – sin x

x – tg x

0

4

 – 2arc tg x

ln

5

 – 2arc sin x

sin 3(x – 1)

1

6

e x – e x

sin x cos x

0

7

1 – sin(x/2)

ln x

1

8

sin(x/2)

ln (1 – x)

0

9

x ln xx + 1

(x – 1)ln x

1

10

a 2x 2

ctg

a

11

–1

cos x – 1

0

12

ln(sin 2x)

ln(sin x)

0

13

xcos xxsin x

xsin x

0

14

–1

0

15

a xb x

0

16

1 – cos 2x

cos 7x – cos 3x

0

17

ln x

1 + 2ln(sin x)

+0

18

e 3x – 3x – 1

sin2 5x

0

19

cos x  ln(x – 3)

ln (e x – e 3)

3 + 0

20

tg(x/2)

ln(1 – x)

1 – 0

21

e x – e x – 2x

x – sin x

0

22

e 2x – 1

arc sin x

0

23

e x – 1 – x

x(e x – 1)

0

24

(x – 2)2

tg(cos x – 1)

2

25

cos x

/2

26

1 – sin x

(/2 – x)2

/2

27

tg xx

sin xx

0

28

1 –

sin x

0

29

ln x

x a

30

ln(1 + x 2)

ln(/2 – arc tg x)