- •О.Ю. Горлова, в.И. Самарин
- •Лабораторная работа №1 Матрицы и определители
- •Задания
- •Справочный материал
- •12. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы:
- •15. Свойства определителей:
- •17. Матричный метод нахождения обратной матрицы:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 2 Системы линейных алгебраических уравнений
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 3 Векторы
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 4 Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы
- •Задание
- •Справочный материал
- •10. Идентификация собственных векторов и собственных значений матрицы:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 5 Прямая и плоскость
- •Задания
- •Справочный материал
- •1. Уравнения прямой на плоскости:
- •4. Уравнения плоскости:
- •7. Уравнения прямой в пространстве:
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 6 Кривые второго порядка
- •Задания
- •Справочный материал
- •Гипербола
- •Парабола
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 7 Пределы и непрерывность функций одной переменной
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 8 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Задания
- •Справочный материал
- •Примеры выполнения заданий лабораторной работы
- •Литература
- •Оглавление
- •Горлова Ольга Юрьевна,
15. Свойства определителей:
если в матрице имеется нулевая строка или нулевой столбец, то ее определитель равен 0;
если матрица содержит две одинаковые или пропорциональные строки (два одинаковых или пропорциональных столбца), то ее определитель равен 0;
общий множитель элементов строки (столбца) можно выносить в качестве множителя перед определителем;
определитель не изменится, если к строке матрицы прибавить другую строку, умноженную на любое число, что справедливо и для столбцов матрицы;
если две строки (два столбца) поменять местами, то определитель изменит знак на противоположный;
определитель треугольной матрицы равен произведению ее элементов на главной диагонали;
det (AВ) = det (A)det (В), где A и В – матрицы одного порядка;
det AТ = det A, где АТ – транспонированная матрица к квадратной матрице А, т.е. матрица, строки которой являются соответствующими по номерам столбцами исходной матрицы А.
16. Обратная матрица к квадратной матрице А – матрица А−1, для которой выполняется условие АА−1 = А−1А = Е, где Е – единичная матрица, порядок которой совпадает с порядком матрицы А. Обратная матрица А−1 существует и определяется однозначно, только если det A 0.
17. Матричный метод нахождения обратной матрицы:
приставить к матрице А справа единичную матрицу Е того же порядка, что и А: (А|Е);
в матрице А выбрать ненулевой элемент (называемый ведущим для столбца, в котором он находится), и с помощью этого элемента элементарными преобразованиями строк матрицы (А|Е) занулить все остальные элементы этого столбца;
мысленно вычеркнуть отработанный ведущий элемент с его строкой и столбцом и выбрать следующий ведущий элемент; операцию по занулению элементов в матрице А завершить, если в каждой ее строке и в каждом столбце окажется только по одному ненулевому элементу;
перестановкой строк и их делением на значения соответствующих ненулевых элементов в левой части преобразуемой матрицы (А|Е) получить в этой части единичную матрицу, тогда в правой части образуется искомая обратная матрица А−1, т.е. (А|Е) ~ (Е|А–1).
18. Расчет обратной матрицы А–1 по алгебраическим дополнениям элементов исходной матрицы:
найти det A и, если он отличен от нуля, продолжить расчет обратной матрицы, если же det A = 0, то сделать вывод, что обратной матрицы для A не существует;
вычислить все алгебраические дополнения Аij элементов aij матрицы А;
построить матрицу алгебраических дополнений
;
построить союзную матрицу А* = ;
записать обратную матрицу А–1 = ∙А*;
проверить правильность результата, убедившись в выполнении условия А∙А–1 = Е или А–1∙А = Е.
Обратной матрицей для матрицы 2-го порядка А = является матрицаА – 1 = .
Примеры выполнения заданий лабораторной работы
1. Вычислить определители: а) ;б) ;в) , причем определитель 3-го порядка тремя способами.
Решение.
а) Определитель второго порядка равен произведению элементов на главной диагонали минус произведение элементов на побочной диагонали:
Δ1 = (−4)∙(−2) – [3∙(–5)] = 8 – (– 15) = 23.
б)
1-й способ: вычисление определителя по «правилу треугольников».
Согласно «правилу треугольников» получаем:
Δ2 = 3∙3∙2 + 4∙6∙(−1) + 1∙0∙2 – [2∙3∙(−1) + 6∙0∙3 + 4∙1∙2] =
18 – 24 + 0 – (–6 + 0 + 8) = – 6 – 2 = − 8.
2-й способ: вычисление определителя разложением по строке или столбцу.
Выберем для разложения третий столбец, содержащий 0, тогда получим
Δ2 = (−1)∙А13 + 0∙А23 + 2∙А33 = (−1)∙(−1)1 + 3 ∙+ 2∙(−1)3 + 3 ∙= −18 +10 = − 8.
3-й способ: вычисление определителя после его предварительного преобразования.
Используем свойство: определитель треугольной матрицы равен произведению ее элементов на главной диагонали.
Для приведения заданного определителя к треугольной форме воспользуемся следующими свойствами определителей:
если две строки (два столбца) поменять местами, то определитель изменит знак на противоположный (т.е. чтобы при этом сохранить значение определителя, его следует умножить на – 1);
если к строке, умноженной на а, прибавить другую строку, умноженную на b, то определитель изменит свое значение в а раз (т.е., чтобы он не изменил своего значения, надо одновременно с указанной операцией сложения строк, разделить определитель на число а);
общий множитель элементов строки (столбца) можно выносить в качестве множителя перед определителем.
Преобразования определителя выполняем в следующей последовательности:
I
стб.
III
стб.
III
стр. + 2I
стр.
Из
III
стр. выносим
общий
множитель 8
3III
стр. –
II
стр.
= ==
= (–1)8(–1)3(–1) = – 8.
в) Определитель можно вычислить разложением по строке или по столбцу. Например, при разложении определителя по 1-й строке получим:
Δ3 = 4∙А11 + (−1)∙А12 + 1∙А13 + 0∙А14,
где А11, А12, А13, А14 – алгебраические дополнения соответствующих элементов 1-й строки.
Однако можно уменьшить число слагаемых, если, используя свойства определителей и выполнив соответствующие преобразования, увеличить число нулей в 1-й строке:
II
стб. + III
стб.
I
стб. –
4III
стб.
= = 1(–1)(–1) + (–3)15 + 5(–3)(–4) – [(–4)(–1)5 + (–3)5(–1) + 1(–3)1] = 1 – 15 + 60 – (20 + 15 – 3) = 46 – 32 = 14.
Ответ: Δ1 = 23; Δ2 = – 8; Δ3 = 14.
2. Перемножить матрицы: а) найти матрицу С = АВ, если матрица , матрица;б) найти матрицу С = А2, если .
Решение.
а) Проверяем существование матрицы С = АВ: матрицу А можно умножить на матрицу В, поскольку число столбцов матрицы А (первого множителя) равно числу строк матрицы В (второго множителя), равно 3. Следовательно, С = АВ существует.
Определяем размер матрицы С = АВ: число строк матрицы С равно числу строк матрицы А (первого множителя), т.е. матрица С имеет 2 строки; число столбцов матрицы С равно числу столбцов матрицы В (второго множителя), т.е. матрица С имеет 3 столбца. Т.о., размер матрицы С: 23.
Находим значения элементов матрицы С = АВ. Элемент матрицы С, стоящий в первой строке и в первом столбце, равен сумме попарных произведений элементов первой строки матрицы А и соответствующих элементов первого столбца матрицы В. Элемент матрицы С, стоящий в первой строке и во втором столбце, равен сумме попарных произведений элементов первой строки матрицы А и соответствующих элементов второго столбца матрицы В и т.д.:
.
б) Проверяем существование матрицы С = А2 = АА: матрицу А можно умножить на матрицу А, поскольку число столбцов матрицы А (первого множителя) равно числу строк матрицы А (второго множителя), равно 3. Следовательно, С = А2, т.е. квадрат квадратной матрицы А, существует.
Определяем размер матрицы С = А2 = АА: число строк матрицы С равно числу строк матрицы А (первого множителя), т.е. матрица С имеет 3 строки; число столбцов матрицы С равно числу столбцов матрицы А (второго множителя), т.е. матрица С имеет 3 столбца. Т.о., размер матрицы С: 33.
Находим значения элементов матрицы С = А2 = АА. Элемент матрицы С, стоящий в первой строке и в первом столбце, равен сумме попарных произведений элементов первой строки матрицы А и соответствующих элементов первого столбца матрицы А. Элемент матрицы С, стоящий в первой строке и во втором столбце, равен сумме попарных произведений элементов первой строки матрицы А и соответствующих элементов второго столбца матрицы А и т.д.:
=
= .
Ответ: а) ; б) .
3. Найти А–1, если матрица.
Решение.
а) Расчет обратной матрицы матричным методом.
Приставим справа к матрице А единичную матрицу:
(А|Е) = .
В качестве 1-го ведущего элемента используем (– 1) во 3-м столбце матрицы А. С помощью этого элемента зануляем единственный не равный 0 отличный от ведущего элемент этого столбца матрицы А, произведя соответствующее элементарное преобразование строк матрицы (А|Е):
стр.:
III+3∙II
стр.:
III+2∙I
(А|Е) = ~ .
После мысленного исключения из полученной матрицы строки и столбца использованного ведущего элемента, в оставшихся строках и столбцах матрицы А в качестве следующего ведущего элемента выбираем (– 2) в ее 1-м столбце, и с помощью этого элемента зануляем остальные элементы этого столбца, произведя соответствующие элементарные преобразования строк матрицы (А|Е):
стр.:
2∙II+I
стр.:
2∙III+5∙I
~ .
Исключая из рассмотрения строки и столбцы матрицы, образовавшейся на месте матрицы А, в которых находились использованные ведущие элементы, устанавливаем, что для зануления элементов во 2-м столбце в качестве ведущего элемента остался элемент, равный 1:
стр.:
I+3III
стр.:
II+III
~ .
Т.о., на месте исходной матрицы А получена эквивалентная ей матрица, в каждой строке и в каждом столбце которой имеется только один ненулевой элемент. Чтобы эти элементы приняли значение 1, разделим первую строку полученной матрицы (А|Е) на (– 2) и вторую строку на (– 2):
стр.:
I ∕ (–2)
стр.:
II ∕ (–2)
~ .
Чтобы сформировать в левой части полученной матрицы единичную, переставим строки:
стр.:
III↔II
~ = (Е|А –1).
Следовательно, А –1 = .
Проверка: АА −1 = ∙=
=
= ==Е, т.е., действительно, обратной к матрице является матрицаА –1 = .
б) Расчет обратной матрицы по алгебраическим дополнениям элементов исходной матрицы.
Имеем: определитель матрицы А равен Δ = det A = = – 1; алгебраические дополнения элементоваij матрицы системы А:
А11 = = 8, А12 = – = – 5, А13 = = 3,
А21 = – = 9, А22 = = – 6, А23 = – = 4,
А31 = = 3, А32 = – = –2, А33 = = 1.
Составляем союзную матрицу: А* = =.
Следовательно, А−1 = А* = =.
Ответ: А –1 = .