Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лабораторные ГС (1).doc
Скачиваний:
165
Добавлен:
02.05.2015
Размер:
4.72 Mб
Скачать

15. Свойства определителей:

  • если в матрице имеется нулевая строка или нулевой столбец, то ее определитель равен 0;

  • если матрица содержит две одинаковые или пропорциональные строки (два одинаковых или пропорциональных столбца), то ее определитель равен 0;

  • общий множитель элементов строки (столбца) можно выносить в качестве множителя перед определителем;

  • определитель не изменится, если к строке матрицы прибавить другую строку, умноженную на любое число, что справедливо и для столбцов матрицы;

  • если две строки (два столбца) поменять местами, то определитель изменит знак на противоположный;

  • определитель треугольной матрицы равен произведению ее элементов на главной диагонали;

  • det (AВ) = det (A)det (В), где A и В – матрицы одного порядка;

  • det AТ = det A, где АТ – транспонированная матрица к квадратной матрице А, т.е. матрица, строки которой являются соответствующими по номерам столбцами исходной матрицы А.

16. Обратная матрица к квадратной матрице А – матрица А1, для которой выполняется условие АА1 = А1А = Е, где Е – единичная матрица, порядок которой совпадает с порядком матрицы А. Обратная матрица А1 существует и определяется однозначно, только если det A  0.

17. Матричный метод нахождения обратной матрицы:

  • приставить к матрице А справа единичную матрицу Е того же порядка, что и А: (А|Е);

  • в матрице А выбрать ненулевой элемент (называемый ведущим для столбца, в котором он находится), и с помощью этого элемента элементарными преобразованиями строк матрицы (А|Е) занулить все остальные элементы этого столбца;

  • мысленно вычеркнуть отработанный ведущий элемент с его строкой и столбцом и выбрать следующий ведущий элемент; операцию по занулению элементов в матрице А завершить, если в каждой ее строке и в каждом столбце окажется только по одному ненулевому элементу;

  • перестановкой строк и их делением на значения соответствующих ненулевых элементов в левой части преобразуемой матрицы (А|Е) получить в этой части единичную матрицу, тогда в правой части образуется искомая обратная матрица А1, т.е. (А|Е) ~ (Е|А1).

18. Расчет обратной матрицы А–1 по алгебраическим дополнениям элементов исходной матрицы:

  • найти det A и, если он отличен от нуля, продолжить расчет обратной матрицы, если же det A = 0, то сделать вывод, что обратной матрицы для A не существует;

  • вычислить все алгебраические дополнения Аij элементов aij матрицы А;

  • построить матрицу алгебраических дополнений

;

  • построить союзную матрицу А* = ;

  • записать обратную матрицу А–1 = А*;

  • проверить правильность результата, убедившись в выполнении условия АА–1 = Е или А–1А = Е.

Обратной матрицей для матрицы 2-го порядка А = является матрицаА – 1 = .

Примеры выполнения заданий лабораторной работы

1. Вычислить определители: а) ;б) ;в) , причем определитель 3-го порядка тремя способами.

Решение.

а) Определитель второго порядка равен произведению элементов на главной диагонали минус произведение элементов на побочной диагонали:

Δ1 = (−4)∙(−2) – [3∙(–5)] = 8 – (– 15) = 23.

б)

1-й способ: вычисление определителя по «правилу треугольников».

Согласно «правилу треугольников» получаем:

Δ2 = 3∙3∙2 + 4∙6∙(−1) + 1∙0∙2 – [2∙3∙(−1) + 6∙0∙3 + 4∙1∙2] =

18 – 24 + 0 – (–6 + 0 + 8) = – 6 – 2 = − 8.

2-й способ: вычисление определителя разложением по строке или столбцу.

Выберем для разложения третий столбец, содержащий 0, тогда получим

Δ2 = (−1)∙А13 + 0∙А23 + 2∙А33 = (−1)∙(−1)1 + 3+ 2∙(−1)3 + 3= −18 +10 = − 8.

3-й способ: вычисление определителя после его предварительного преобразования.

Используем свойство: определитель треугольной матрицы равен произведению ее элементов на главной диагонали.

Для приведения заданного определителя к треугольной форме воспользуемся следующими свойствами определителей:

  • если две строки (два столбца) поменять местами, то определитель изменит знак на противоположный (т.е. чтобы при этом сохранить значение определителя, его следует умножить на – 1);

  • если к строке, умноженной на а, прибавить другую строку, умноженную на b, то определитель изменит свое значение в а раз (т.е., чтобы он не изменил своего значения, надо одновременно с указанной операцией сложения строк, разделить определитель на число а);

  • общий множитель элементов строки (столбца) можно выносить в качестве множителя перед определителем.

Преобразования определителя выполняем в следующей последовательности:

I стб.  III стб.

III стр. + 2I стр.

= ==

Из III стр. выносим

общий множитель 8

3III стр. – II стр.

= ==

= (–1)8(–1)3(–1) = – 8.

в) Определитель можно вычислить разложением по строке или по столбцу. Например, при разложении определителя по 1-й строке получим:

Δ3 = 4∙А11 + (−1)∙А12 + 1∙А13 + 0∙А14,

где А11, А12, А13, А14 – алгебраические дополнения соответствующих элементов 1-й строки.

Однако можно уменьшить число слагаемых, если, используя свойства определителей и выполнив соответствующие преобразования, увеличить число нулей в 1-й строке:

II стб. + III стб.

I стб. – 4III стб.

= ==

= = 1(–1)(–1) + (–3)15 + 5(–3)(–4) – [(–4)(–1)5 + (–3)5(–1) + 1(–3)1] = 1 – 15 + 60 – (20 + 15 – 3) = 46 – 32 = 14.

Ответ: Δ1 = 23; Δ2 = – 8; Δ3 = 14.

2. Перемножить матрицы: а) найти матрицу С = АВ, если матрица , матрица;б) найти матрицу С = А2, если .

Решение.

а) Проверяем существование матрицы С = АВ: матрицу А можно умножить на матрицу В, поскольку число столбцов матрицы А (первого множителя) равно числу строк матрицы В (второго множителя), равно 3. Следовательно, С = АВ существует.

Определяем размер матрицы С = АВ: число строк матрицы С равно числу строк матрицы А (первого множителя), т.е. матрица С имеет 2 строки; число столбцов матрицы С равно числу столбцов матрицы В (второго множителя), т.е. матрица С имеет 3 столбца. Т.о., размер матрицы С: 23.

Находим значения элементов матрицы С = АВ. Элемент матрицы С, стоящий в первой строке и в первом столбце, равен сумме попарных произведений элементов первой строки матрицы А и соответствующих элементов первого столбца матрицы В. Элемент матрицы С, стоящий в первой строке и во втором столбце, равен сумме попарных произведений элементов первой строки матрицы А и соответствующих элементов второго столбца матрицы В и т.д.:

.

б) Проверяем существование матрицы С = А2 = АА: матрицу А можно умножить на матрицу А, поскольку число столбцов матрицы А (первого множителя) равно числу строк матрицы А (второго множителя), равно 3. Следовательно, С = А2, т.е. квадрат квадратной матрицы А, существует.

Определяем размер матрицы С = А2 = АА: число строк матрицы С равно числу строк матрицы А (первого множителя), т.е. матрица С имеет 3 строки; число столбцов матрицы С равно числу столбцов матрицы А (второго множителя), т.е. матрица С имеет 3 столбца. Т.о., размер матрицы С: 33.

Находим значения элементов матрицы С = А2 = АА. Элемент матрицы С, стоящий в первой строке и в первом столбце, равен сумме попарных произведений элементов первой строки матрицы А и соответствующих элементов первого столбца матрицы А. Элемент матрицы С, стоящий в первой строке и во втором столбце, равен сумме попарных произведений элементов первой строки матрицы А и соответствующих элементов второго столбца матрицы А и т.д.:

=

= .

Ответ: а) ; б) .

3. Найти А–1, если матрица.

Решение.

а) Расчет обратной матрицы матричным методом.

Приставим справа к матрице А единичную матрицу:

(А|Е) = .

В качестве 1-го ведущего элемента используем (– 1) во 3-м столбце матрицы А. С помощью этого элемента зануляем единственный не равный 0 отличный от ведущего элемент этого столбца матрицы А, произведя соответствующее элементарное преобразование строк матрицы (А|Е):

стр.: III+3∙II

стр.: III+2∙I

(А|Е) = ~ .

После мысленного исключения из полученной матрицы строки и столбца использованного ведущего элемента, в оставшихся строках и столбцах матрицы А в качестве следующего ведущего элемента выбираем (– 2) в ее 1-м столбце, и с помощью этого элемента зануляем остальные элементы этого столбца, произведя соответствующие элементарные преобразования строк матрицы (А|Е):

стр.: 2∙II+I

стр.: 2∙III+5∙I

~ .

Исключая из рассмотрения строки и столбцы матрицы, образовавшейся на месте матрицы А, в которых находились использованные ведущие элементы, устанавливаем, что для зануления элементов во 2-м столбце в качестве ведущего элемента остался элемент, равный 1:

стр.: I+3III

стр.: II+III

~ .

Т.о., на месте исходной матрицы А получена эквивалентная ей матрица, в каждой строке и в каждом столбце которой имеется только один ненулевой элемент. Чтобы эти элементы приняли значение 1, разделим первую строку полученной матрицы (А|Е) на (– 2) и вторую строку на (– 2):

стр.: I ∕ (–2)

стр.: II ∕ (–2)

~ .

Чтобы сформировать в левой части полученной матрицы единичную, переставим строки:

стр.: III↔II

~ = (Е|А –1).

Следовательно, А –1 = .

Проверка: АА 1 = =

=

= ==Е, т.е., действительно, обратной к матрице является матрицаА –1 = .

б) Расчет обратной матрицы по алгебраическим дополнениям элементов исходной матрицы.

Имеем: определитель матрицы А равен Δ = det A = = – 1; алгебраические дополнения элементоваij матрицы системы А:

А11 = = 8, А12 = – = – 5, А13 = = 3,

А21 = – = 9, А22 = = – 6, А23 = – = 4,

А31 = = 3, А32 = – = –2, А33 = = 1.

Составляем союзную матрицу: А* = =.

Следовательно, А−1 = А* = =.

Ответ: А –1 = .