Примеры выполнения заданий лабораторной работы

1^. Найти решение системы двух уравнений а) используя формулы Крамера; б) матричным способом; в) методом Гаусса.

Решение.

а) Решение системы по формулам Крамера.

Находим определитель системы  = det A = = – 8 – 15 = – 23.

Находим дополнительный определитель для неизвестной х. Для этого столбец коэффициентов при х в определителе системы заменяем столбцом свободных членов системы: ₁ = = – 4 – 65 = – 69.

Находим дополнительный определитель для неизвестной y. Для этого столбец коэффициентов при y в определителе системы заменяем столбцом свободных членов системы: ₂ = = 52 – 6 = 46.

Находим решение системы по формулам Крамера: х = ₁/ = – 69/(– 23) = 3; y = ₂/ = 46/(– 23) = – 2.

б) Решение системы матричным способом.

Находим решение системы в видеX = А⁻¹∙B, где Х = ,B = ,А⁻¹ – обратная матрица к основной матрице системы А = .

Поскольку (см. справочный материал к 1-й лаб. работе) для матрицы 2-го порядка А = обратная матрицаА ^{– 1} = , то получаемА⁻¹ = =.

Т.о., Х = ===. Следовательно,х = 3; y = – 2.

в) Решение системы методом Гаусса.

Выполняем прямой ход метода Гаусса, т.е. приводим расширенную матрицу системы (А|B) = к ступенчатому виду. Для этого в качестве ведущего элемента берем в 1-м столбце матрицыА 1-й диагональный элемент, равный 4, и элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы зануляем нижестоящий элемент в этом столбце:

стр.: 4II–3∙I

~ .

В результате получаем систему, равносильную исходной:

Выполняем обратный ход метода Гаусса: из последнего уравнения находим y = – 2, и подставляем полученное значение в вышестоящее уравнение: 4х + 5(–2) = 2, откуда находим: 4х = 2 + 10 = 12, т.е. х = 3.

Ответ: х = 3; y = – 2.

2^. Найти решение системы трех уравнений а) используя формулы Крамера; б) матричным способом; в) методом Гаусса.

Решение.

а) Решение системы по формулам Крамера.

Находим определитель системы  = det A = = – 12 +4 +1 – 2 +8 – 3 = – 4.

Находим дополнительный определитель для неизвестной х₁. Для этого столбец коэффициентов при х₁ в определителе системы заменяем столбцом свободных членов системы: ₁ = = – 30 + 16 + 6 – 12 + 20 – 12 = – 12.

Находим дополнительный определитель для неизвестной х₂. Для этого столбец коэффициентов при х₂ в определителе системы заменяем столбцом свободных членов системы: ₂ = = 24 – 6 + 5 + 4 – 12 – 15 = 0.

Находим дополнительный определитель для неизвестной х₃. Для этого столбец коэффициентов при х₃ в определителе системы заменяем столбцом свободных членов системы: ₃ = = 24 + 20 – 4 – 10 – 32 + 6 = 4.

Находим решение системы по формулам Крамера: х₁ = ₁/ = – 12/(– 4) = 3; х₂ = ₂/ = 0/(– 4) = 0; х₃ = ₃/ = 4/(– 4) = – 1.

б) Решение системы матричным способом.

Находим решение системы в видеX = А⁻¹∙B, где Х =,B =,А⁻¹ – обратная матрица к основной матрице системы А = .

Находим обратную матрицу А⁻¹ матричным методом:

стр.: II–I

стр.: III+3∙I

стр.: I+III

стр.: II+III

(А|Е) = ~ ~

стр.: I/4

стр.: II/4

стр.: III/(–4)

стр.: 4I–9II

стр.: 4III–7∙II

~ ~

Перестановка строк

~ = (E|A^–1).

Следовательно, A^–1 = =.

Т.о., Х = =  = = = .

Следовательно, х₁ = 3; х₂ = 0; х₃ = – 1.

в) Решение системы методом Гаусса.

Выполняем прямой ход метода Гаусса, т.е. приводим расширенную матрицу системы (А|B) = к ступенчатому виду. Для этого последовательно слева направо в качестве ведущих элементов берем диагональные элементы преобразуемой матрицыА и элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы зануляем нижестоящие элементы в соответствующих столбцах (т.е. последовательно исключаем неизвестные из ниже находящихся уравнений системы относительно верхних уравнений):

стр.: 2II+I

стр.: 2III–I

стр.: 5III+9II

~ ~ .

В результате получаем систему, равносильную исходной:

Выполняем обратный ход метода Гаусса.

Из последнего уравнения находим х₃ = – 1.

Подставляем полученное значение х₃ в вышестоящее уравнение: 5х₂ + 3(–1) = –3, откуда находим: 5х₂ = – 3 + 3 = 0, т.е. х₂ = 0.

Подставляем полученные значения х₂ и х₃ в первое уравнение системы: 2х₁ + 0 + (–1) = 5, откуда 2х₁ = 6, т.е. х₁ = 3.

Ответ: х₁ = 3; х₂ = 0; х₃ = – 1.

2^. Используя метод Гаусса, найти общее и базисное решения системы линейных уравнений: а) б) в)

Решение.

а) Составляем расширенную матрицу системы: .

Выполняем прямой ход метода Гаусса: элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы приводим ее к ступенчатому виду:

стр.: II−3∙I

стр.: III+I

стр.: II ∕ 2

стр.: III−II

~ ~~.

По полученной расширенной матрице ступенчатого вида системы запишем систему уравнений, равносильную исходной:

В полученной системе 2 уравнения и 3 неизвестных, следовательно, в исходной системе 2 базисных неизвестных и одна свободная. В качестве базисных неизвестных возьмем x₁ и x₂, что допустимо, поскольку соответствующие им коэффициенты в расширенной матрице ступенчатого вида без нулевых строк образуют диагональную матрицу, определитель которой отличен от нуля.

Базисные неизвестные оставим в левой части уравнений, а свободную неизвестную x₃ в качестве параметра переносим в правую часть уравнений:

Выполняем обратный ход метода Гаусса: найдем общее решение системы последовательным вычислением значений базисных неизвестных путем перехода от нижнего уравнения к верхнему.

Из второго уравнения определяется x₂ = 1 − x₃ / 2. Подставляя это значение в первое уравнение, получим x₁ = 1 + 2x₃ + 2∙(1 − x₃ / 2) = 3 + x₃.

Чтобы подчеркнуть, что x₃ как параметр может принимать любые числовые значения, а также чтобы избавиться в ответе от дробей, переобозначим свободную неизвестную: x₃ = 2С, где С – произвольная константа.

С учетом произведенной замены запишем общее решение в виде вектора-столбца X = =.

Запишем базисное решение, получаемое при равенстве всех свободных неизвестных нулю (в нашем случае x₃ = 0 и, следовательно, С = 0):

X₀ = .

Ответ: общее решение системы x₁ = 3 + 2С, x₂ = 1 − С, x₃ = 2С;

базисное решение системы x₁ = 3, x₂ = 1, x₃ = 0.

б) Составляем расширенную матрицу системы: .

Выполняем прямой ход метода Гаусса: элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы приводим ее к ступенчатому виду:

стр.: II−2∙I

стр.: III−I

стр.: III−2∙II

~ ~.

По полученной расширенной матрице ступенчатого вида системы запишем систему уравнений, равносильную исходной:

В полученной системе 2 уравнения и 3 неизвестных, следовательно, в исходной системе 2 базисных неизвестных и одна свободная. В качестве базисных неизвестных возьмем x₁ и x₂, что допустимо, поскольку соответствующие им коэффициенты в расширенной матрице ступенчатого вида без нулевых строк образуют диагональную матрицу, определитель которой отличен от нуля.

Базисные неизвестные оставим в левой части уравнений, а свободную неизвестную x₃ в качестве параметра переносим в правую часть уравнений:

Выполняем обратный ход метода Гаусса: найдем общее решение системы последовательным вычислением значений базисных неизвестных путем перехода от нижнего уравнения к верхнему.

Из второго уравнения определяется x₂ = x₃ / 3. Подставляя это значение в первое уравнение, получим x₁= x₃ + 4x₃ / 3 = 7x₃ / 3.

Чтобы подчеркнуть, что x₃ как параметр может принимать любые числовые значения, а также чтобы избавиться в ответе от дробей, переобозначим свободную неизвестную: x₃ = 3С, где С – произвольная константа.

С учетом произведенной замены запишем общее решение в виде вектора-столбца

X = ==C∙.

Запишем базисное решение, получаемое при равенстве всех свободных неизвестных нулю (в нашем случае x₃ = 0 и, следовательно, С = 0):

X₀ = .

Ответ: общее решение системы: x₁ = 7С, x₂ = С, x₃ = 3С;

базисное решение системы: x₁ = 0, x₂ = 0, x₃ = 0.

в) Составляем расширенную матрицу системы: .

Выполняем прямой ход метода Гаусса: элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы приводим ее к ступенчатому виду:

стр.: II+I

стр.: III−2∙I

~ .

Согласно полученной расширенной матрице исходная система сводится к единственному уравнению

2∙x₁ − x₂ − 3∙x₃ = −1.

Поскольку в полученном единственном уравнении 3 неизвестных, то в исходной системе одна базисная неизвестная и 2 свободные. В качестве базисной неизвестной выбираем x₁.

Базисную неизвестную оставим в левой части уравнений, а свободные неизвестные x₂ и x₃ в качестве параметров переносим в правую часть уравнения:

2∙x₁ = −1 + x₂ + 3∙x₃, откуда x₁ = −1/ 2 + x₂ / 2 + 3∙x₃ / 2.

Запишем общее решение системы, переобозначив свободные неизвестные: x₂ = 2∙С₁, x₃ = 2∙С₂, где С₁ и С₂ – произвольные константы:

x₁ = −1/ 2 + С₁ + 3∙С₂.

С учетом произведенной замены запишем общее решение в виде вектора-столбца

X = =.

Запишем базисное решение, получаемое при равенстве всех свободных неизвестных нулю (в нашем случае x₂ = 0, x₃ = 0 и, следовательно, С₁ = С₂ = 0):

X₀ = .

Ответ: общее решение системы x₁ = − 0,5 + С₁ + 3С₂; x₂ = 2С₁; x₃ = 2С₂;

базисное решение системы x₁ = − 0,5; x₂ = 0; x₃ = 0.

Примечание: если исходная система в задании 3в имела бы, например, вид то получится соответствующая этой системе расширенная матрица ступенчатого вида:. Следовательно, для такой системы ранг основной матрицы (rang A = 1) не равен рангу расширенной матрицы (rang (A|B) = 2), и поэтому она несовместна, т.е. решений не имеет.