Примеры выполнения заданий лабораторной работы

1^. Вычислить пределы функций:

а) ; б) ; в) ;г) ;д) ;е) ; ж) ;з) ; и) .

Решение.

а) _{Подставляем в функцию предельное значение переменной х = 4: =} ==.

б) _{Подставляем в функцию предельное значение переменной х = : за знаком предела получаем неопределенность} . Поскольку и в числителе и в знаменателе дроби имеем многочлены, а предел находится прих  , то в каждом из этих многочленов оставляем член с х в максимальной степени: = = = 2.

в) Подставляем в функцию предельное значение переменной х = 0: за знаком предела получаем неопределенность . Поскольку и в числителе и в знаменателе дроби имеем многочлены, а предел находится прих  0, то в каждом из этих многочленов оставляем член с х в минимальной степени: === – 3.

г) Подставляем в функцию предельное значение переменной х = 2: за знаком предела получаем неопределенность . Поскольку и в числителе и в знаменателе дроби многочлены, а предел находится прих  2, то в этих многочленах выделяем бесконечную малую (х – 2): корнями многочлена числителя являются х₁ = 2, х₂ = 1/2, поэтому = = = = 3/4.

д) Подставляем в функцию предельное значение переменной х = 0: за знаком предела получаем неопределенность . Поскольку в числителе разность корней, то переносим иррациональность в знаменатель, умножив и числитель, и знаменатель на соответствующую сумму корней: = = ===.

е) Подставляем в функцию предельное значение переменной х = 0: за знаком предела получаем неопределенность . Для раскрытия неопределенности воспользуемся эквивалентными малыми. Поскольку в окрестности точких = 0: 1 – cos α(х) ~ ²(х)/2, tg α(х) ~ α(х), arcsin α(х) ~ α(х), то 1 – cos х ~ х²/2, сtg 3х²= 1/tg 3x² ~ 1/(3х²), arcsin³х ~ х³.

Получаем: _{= = = 1/6.}

ж) Подставляем в функцию предельное значение переменной х = 0: за знаком предела получаем неопределенность . Для раскрытия неопределенности воспользуемся эквивалентными малыми. Поскольку в окрестности точких = 0: 1 – cos α(х) ~ ²(х)/2, то в окрестности этой точке справедливо приблизительное равенство cos α(х) ≈ 1 – ²(х)/2, и, следовательно, cos 2x – cos x ≈ (1 – 4x²/2) – (1 – x²/2) = 3x²/2; поскольку arc tg α(х) ~ α(х), то arc tg² 3х ~ (3х)² = 9х²; поскольку sin α(х) ~ α(х), то sin² 2х ~ (2х)² = 4х².

Получаем: _{= = = 0,3.}

з) Подставляем в функцию предельное значение переменной х = 2: за знаком предела получаем неопределенность (1^∞). Для раскрытия неопределенности воспользуемся формулу, получаемую как следствие 2-го замечательного предела: у(х) = u(x)^β(x) = (1^∞) = exp[_{(β(x)·(u(x) – 1))}]. Имеем: х₀ = 2; u(x) = ; (x) = . Следовательно, _{= exp[(}(– 1))_].

Находим ₍(– 1)) =₍) ===_{4,5 = 4,5. Т.о., = e}^4,5_.

и) Найти предел числовой последовательно , используя возможность перехода к непрерывному аргументу:=. Поскольку для предела отношения многочленов прих   получаем==1, то для исходного предела имеем неопределенность (1^∞), поэтому для раскрытия этой неопределенности воспользуемся формулой, получаемой как следствие 2-го замечательного предела: у(х) = u(x)^β(x) = (1^∞) = exp[_{(β(x)·(u(x) – 1))}]. Имеем: х₀ = + ; u(x) = ;(x) = 3х² + 2. Следовательно, _{= exp[(}(3х² + 2)(– 1))_].

Находим ₍(3х² + 2)(– 1)) =₍(3х² + 2)) == =_{(–21) = – 21. Следовательно,} == е^{– 21}.

Ответ: а) 2/9; б) 2; в) – 3; г) 3/4; д) 1/(); е) _{1/6; ж) 0,3; з) e}^4,5_{; и)} е ^{– 21}.

2^. Исследовать функцию f(x) на непрерывность, установить тип точек разрыва и построить график функции в окрестности точек разрыва:

Решение.

Найдем односторонние пределы функции f(x) в граничных точках интервалов ее различного задания:

f(–1 – 0) = _{(2х +5) = 3;} f(–1 + 0) =_е^х _{= е} ^–1 _{≈ 1/2,7183 ≈ 0,34;}

f(– 0) = _е^х _{= е}⁰ _{= 1;} f(+ 0) =_{(1 – х}²_{/2) = 1;}

f(2 – 0) = _{(1 – х}²_{/2) = –1;} f(2 + 0) = _{2lg(x – 2) = 2lg(x – 2) = – .}

Согласно полученным значениям односторонних пределов функция f(x) имеет: в точке х = –1 разрыв 1-го рода; в точке х = 0 разрыв 1-го рода (причем, поскольку конечный предел слева равен пределу справа, а функция в точке х = 0 не определена, то это, так называемый, устранимый разрыв); в точке х = 2 разрыв 2-го рода.

Для построения графика функции f(x) в окрестностях ее точек разрыва воспользуемся значениями этой функции в некоторых дополнительных точках:

х	–2	–3
у	–1	–1

х	1	2
у	1/2	–1

у(х) = 2х + 5:

у(х) = _{(1 – х}²_/2):

х	2,5	3	4	5	6
у	≈ – 0,6	0	≈ 0,6	≈ 1	≈ 1,2

у(х) = _{2lg(x – 2):}

Ответ: в точке х = –1 разрыв 1-го рода;

в точке х = 0 разрыв 1-го рода;

в точке х = 2 разрыв 2-го рода.